Transformadas de Fourier

Qualquer conjunto de dados pode ser analisado diretamente por um espectro de freqüências, ou Transformada de Fourier [desenvolvida por Jean Fourier (1768-1830) em 1822], pois trata-se de um conjunto completo e ortonormal de funções.

Fourier
Um ponto importante da transformada, é o critério de Nyquist [Harry Nyquist (1889-1976), Certain topics in Telegraph Transmission Theory (1928, Transactions of the American Institute of Electric Engineers, 47, 617)], que especifica que um sinal precisa ser amostrado pelo menos duas vezes em cada ciclo de variação, isto é, a freqüência de amostragem (freqüência de Nyquist) precisa ser no mínimo o dobro da maior freqüência presente no sinal. Se não for observado o critério, os sinais de mais alta freqüência serão erroneamente registrados como de baixa freqüência, fenômeno chamado de alias (como a impressão da roda girando no sentido inverso que vemos na televisão). Por exemplo, em imageamento Doppler, onde o fluxo do sangue é medido por uma série de pulsos ultrasônicos, se os pulsos não forem repetidos com rapidez suficiente, um fluxo rápido em uma direção pode ser interpretado como um fluxo lento na direção oposta.

O limite de Nyquist é importante tanto na baixa freqüência: o tempo de observação total, T, só pode amostrar períodos menores que T/2, e de alta freqüência: se o tempo de integração for t, só podemos medir períodos mais longos que 2t.

A transformada de Fourier de uma função f(x) é definida como:

${\cal{F}}[f(x)] \equiv F(w_x) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2i\pi w_xx} dx$ (4.1)

e a transformada inversa, que recupera a função original é definida como:

${\cal{F}}^{-1}[F(w_x)] \equiv f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(w_x) e^{2i\pi w_xx} dw_x$ (4.2)

onde $ w_x$ é a freqüência angular, e $ i\equiv \sqrt{-1}$.

Para cada freqüência $ w_x$, integramos a função $ f(x)$ sobre todos os valores da coordenada $ x$. Se o valor da integral for grande para esta freqüência, então o sinal tem uma componente significativa nesta freqüência, isto é, uma parte significativa deste sinal é composto por esta freqüência.

Podemos também definir:

$ \boxed{{\cal{F}}[f(x)] \equiv F(\nu) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \nu x} dx,}$ (4.3)

e a transformada inversa, que recupera a função original é definida como :

$ \boxed{{\cal{F}}^{-1}[F(\nu)] \equiv f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\nu) e^{i\nu x} d\nu,}$ (4.4)

onde $ \nu=2\pi w_x$ é a freqüência linear.

Note que:

e^{-i\nu x} \equiv cos(\nu x) + i sen(\nu x)

A condição suficiente para e existência da transformada de Fourier de uma função $ f(x)$ qualquer é que a função seja integrável, e finita, isto é:

$ \int_{-\infty}^\infty \vert f(x)\vert dx < \infty$ (4.5)

As medidas e imagens que estamos interessados são sempre integráveis e finitas.

\epsfig{file=ft.epsf,width=10cm,clip=}

Embora os dados (imagens) sejam reais, a transformada de Fourier é uma função complexa, com coeficientes reais e imaginários:

$ \boxed{F(w_x) = \Re[F(w_x)] + i\Im[F(w_x)].}$

O espectro de potências $ P(w_x)$ é definido como:

$ \boxed{P(w_x) = \Re[F(w_x)]^2 + \Im[F(w_x)]^2,}$
e o ângulo de fase (relacionado a quando o sinal é máximo) é dado por:
$ \boxed{\phi(w_x)=\tan^{-1} \frac {\Im[F(w_x)]}{\Re[F(w_x)]}.}$
Por exemplo, podemos calcular a transformada de Fourier de um pulso retangular, definido por:
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1&{se $\vert x\vert<T$}\\ 0&{se $\vert x\vert\geq T$} \end{array}\right. $

A transformada de Fourier $ F(w)$ de $ f(x)$ é dada por:
$ {\cal{F}}[f(x)] \equiv F(w)$ $ =$ $ \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-iwx} dw$  
  $ =$ $ \int_{-T}^T 1\cdot e^{-iwx} dw$  
  $ =$ $ \frac{e^{-iwx}}{-iw} \Big\bracevert_{-T}^T$  
  $ =$ $ \frac{1}{-iw}\left(e^{-iwT}-e^{iwT}\right)$  
  $ =$ $ 2T \frac{{sen}\,(wt)}{wT}$  
  $ =$ $ 2T {sinc}\,(wT),$  

já que
$ {sen}\,(wt)=\frac{e^{-iwt}-e^{iwt}}{2i}.$
caixa
Transformada de Fourier de uma função caixa (um pulso retangular).
coseno
Transformada de Fourier de uma função coseno truncada, isto é, amostrada por um tempo finito.
ft1} ft2
Dados
FT
Intensidade fracional de uma estrela multi-periódica e a Transformada de Fourier dos dados. Como os dados são igualmente espaçados, a probabilidade de se encontrar um pico de ruído acima de 3<A> seguiria a distribuição gaussiana (cerca de 1/1000), se os dados não fossem correlacionados pelas multi-periodicidades. Uma maneira de se estimar a Probabilidade de Alarme Falso é através de uma simulação de Monte Carlo, que neste caso pode ser feita randomizando as intensidades em relação ao tempo e determinando a altura do pixo máximo na transformada dos dados randomizados. Lembre-se que só podemos estudar freqüências entre 2/(tempo total de observação) até 2×(tempo de integração).
O engenheiro americano Claude Elwood Shannon (1916-2001), considerado o pai da teoria da informação, demonstrou claramente o teorema de amostragem de Nyquist-Shannon, baseado na proposta do engenheiro sueco Harry Nyquist (1889-1976), provando que um sinal precisa ser amostrado pelo menos duas vezes a cada ciclo para conter toda a informação (1949, Proceedings of the Institute of Radio Engineers 37, 10).

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Modificada em 28 jun 2011