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Gaussiana

Uma função gaussiana é definida como:

$\displaystyle f(x) = e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}},$

como na figura abaixo,
\epsfig{file=gauss.epsf,width=10cm,clip=}
e $ \sigma$ mede a meia largura a uma altura de 1/e.

A área da curva sob a gaussiana é dada por:

$\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} dx =
\sqrt{2\pi \sigma^2}$

Na teoria de probabilidades, a distribuição normal é dada por:

$\displaystyle {\cal{P}}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}},$

que é uma função gaussiana normalizada para área unitária. O termo $ \sigma^2$ é chamado de variança, e $ \sigma$ é o desvio médio padrão.

A gaussiana tem uma propriedade muito útil; a convolução de duas funções gaussianas é também uma gaussiana.

$\displaystyle Ae^{-(x-a)^2/2\sigma_1^2}*Be^{-(x-b)^2/2\sigma_2^2} =
ABe^{-(x-c)^2/2\sigma_3^2},$
onde
$\displaystyle c=a+b$   e$\displaystyle \quad \sigma_3^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2.$

A gaussiana resultante da convolução de duas gaussianas é alargada - seu desvio padrão médio é a raiz quadrada da soma das varianças originais. A gaussiana é utilizada para modelar o efeito de largura do feixe, e sistemas ópticos sobre a imagem.

$\displaystyle {\cal{F}}\left[e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\right] \equiv {\cal{F}}\left[e^{-ax^2}\right]$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-i\nu x-ax^2}\,dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty
\exp\left[-a\left(x+\frac{i\nu }{2a}\right)^2 - \frac{\nu ^2}{4a}\right]\,dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\frac{\nu ^2}{4a}}\int_{-\infty}^\infty
e^{-at^2}\,dt$   $\displaystyle \mbox{onde $t \equiv x+ \frac{i\nu }{2a}$}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\frac{\nu ^2}{4a}} \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{\nu ^2}{2\alpha^2}}$   $\displaystyle \mbox{onde $\alpha=\frac{1}{\sigma}$}$  

Note que nesta derivação utilizamos a frequência $ \nu$ linear, e não angular $ w=\nu/2\pi$.


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Modificada em 25 maio 2008