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Gaussiana

Uma função gaussiana é definida como:

$$f(x) = e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}},$$

como na figura abaixo,

e $\sigma$ mede a meia largura a uma altura de 1/e.

A área da curva sob a gaussiana é dada por:

$\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} dx = \sqrt{2\pi \sigma^2}$

Na teoria de probabilidades, a distribuição normal é dada por:

$${\cal{P}}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}},$$

que é uma função gaussiana normalizada para área unitária. O termo $\sigma^2$ é chamado de variança, e $\sigma$ é o desvio médio padrão.

A gaussiana tem uma propriedade muito útil; a convolução de duas funções gaussianas é também uma gaussiana.

$$Ae^{-(x-a)^2/2\sigma_1^2}*Be^{-(x-b)^2/2\sigma_2^2} = ABe^{-(x-c)^2/2\sigma_3^2},$$

onde

$$c=a+b$$   e$$\quad \sigma_3^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2.$$

A gaussiana resultante da convolução de duas gaussianas é alargada - seu desvio padrão médio é a raiz quadrada da soma das varianças originais. A gaussiana é utilizada para modelar o efeito de largura do feixe, e sistemas ópticos sobre a imagem.

$${\cal{F}}\left[e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\right] \equiv {\cal{F}}\left[e^{-ax^2}\right] = \int_{-\infty}^\infty e^{-i\nu x-ax^2}\,dx$$

$$= \int_{-\infty}^\infty \exp\left[-a\left(x+\frac{i\nu }{2a}\right)^2 - \frac{\nu ^2}{4a}\right]\,dx$$

$$= e^{-\frac{\nu ^2}{4a}}\int_{-\infty}^\infty e^{-at^2}\,dt \mbox{onde $t \equiv x+ \frac{i\nu }{2a}$}$$

$$= e^{-\frac{\nu ^2}{4a}} \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}$$

$$= \sqrt{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{\nu ^2}{2\alpha^2}} \mbox{onde $\alpha=\frac{1}{\sigma}$}$$

Note que nesta derivação utilizamos a frequência $\nu$ linear, e não angular $w=\nu/2\pi$.

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