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Amostragem

Vamos chamar de $f_I(x,y)$ uma imagem ideal. Para medí-la, multiplicamos esta imagem no domínio espacial por uma função de amostragem, consistindo de uma série de funções delta, como uma ''cama de pregos'':

$$a(x,y)=\sum_{j_1=-\infty}^\infty \sum_{j_2=-\infty}^\infty \delta(x-j_1\Delta x,y-j_2 \Delta y),$$

onde $\Delta x$ e $\Delta y$ representam os espaçamentos, e $\delta$ a função delta de Dirac. A função depois de amostrada é dada por:

$$f_a(x,y)=f_I(x,y)a(x,y)= \sum_{j_1=-\infty}^\infty \sum_{j_2=-\infty}^\infty f_I(j_1\Delta x,j_2 \Delta y)\delta(x-j_1\Delta x,y-j_2 \Delta y).$$

A transformada de Fourier da função amostrada é dada por:

$$F_a\left(w_x,w_y\right)=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f_a(x,y)\exp\left[-i\left(w_xx+w_yy\right)\right]dx\,dy.$$

De acordo com o Teorema da Convolução, a transformada de Fourier pode ser expressa como a convolução da transformada de duas funções, $F_I\left(w_x,w_y\right)$, e da função de amostra $A\left(w_x,w_y\right)$:

$$F_A\left(w_x,w_y\right)=\frac{1}{4\pi^2}F_I\left(w_x,w_y\right) * A\left(w_x,w_y\right).$$

Como a transformada de Fourier de uma série infinita de funções delta é uma série infinita de funções delta no domínio de frequências:

$$A\left(w_x,w_y\right)=\frac{4\pi^2}{\Delta x \Delta y} \sum_{j_1=... ...nfty \sum_{j_2=-\infty}^\infty \delta\left(w_x-j_1w_{xa},w_y-j_2 w_{ya}\right),$$

onde $w_{xa}=2\pi/\Delta x$ e $w_{ya}=2\pi/\Delta y$ representam a frequência de amostragem no espaço de Fourier. Como a convolução de uma função com a função delta é a própria função, podemos reescrever:

$$F_A\left(w_x,w_y\right)=\frac{1}{\Delta x \Delta y} \sum_{j_1=-\i... ...}^\infty \sum_{j_2=-\infty}^\infty F_I\left(w_x-j_1w_{xa},w_y-j_2w_{ya}\right).$$

Esta equação representa a réplica da transformada $F_I$ da função original $f_I$ no espaço de Fourier, com separações $2\pi/\Delta x$ e $2\pi/\Delta y$.

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