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Reconstrução Bi-dimensional por Retro-projeção Filtrada

A reconstrução bi-dimensional por retro-projeção filtrada é o algoritmo mais utilizado em tomografia computadorizada por transmissão e por emissão. Vamos aqui estudar o caso de feixe paralelo, o mais simples. Da equação 4.31 e 4.34, podemos demonstrar que a função do objeto $\hat{f}(x,y)$ pode ser reconstruída dos dados de projeção calculando-se:

$$\hat{f}(x,y) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}d\phi \int_{-\infty}^\infty dx' p_\phi(x')h(x\cos\phi + y\mathrm{sen}\,\phi - x'),$$ (4.35)

onde $h(x)$ é a transformada inversa do Jacobiano $\vert w\vert$:

$$h(x) = {\cal{F}}^{-1}t[\vert w\vert]$$ (4.36)

$$\equiv {\cal{F}}^{-1}t[H(w)],$$ (4.37)

onde definimos um filtro $H(w)$ para substituir $\vert w\vert$, já que a transformada inversa 4.36 não é calculável devido a sua natureza divergente, isto é, não satisfaz a condição de integrabilidade (4.5):

$$\int_{-\infty}^\infty \vert f(x)\vert dx < \infty.$$ (4.38)

A integral $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi d\phi$ representa a retro-projeção, e $h(x)$ a filtragem.

Os algoritmos de retro-projeção filtrada, substituem a função $\vert w\vert$ pelo filtro $H(w)$. Um filtro, chamado de Ram-Lak, é apresentando na figura acima, desenvolvido por Ramachandran e Lakshiminarayanan em 1971, que assumem que a função $f(x,y)$ está limitada na frequência espacial a $B$. Isto é sempre verdade para imagens digitais, devido à amostragem finita. Neste filtro, o kernel é definido por:

$$H_{RL}(w) = t\lbrace\begin{array}{ll} \vert w\vert&\mbox{ se ... ... w\vert\leq 2\pi B$}\\ 0&\mbox{ se $\vert w\vert> 2\pi B$} \end{array} .$$ (4.39)

O filtro no domínio espacial pode então ser obtido pela transformada inversa de Fourier de $H_{RL}(w)$:

$$h_{RL}(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty H_{RL}(w)e^{ixw}dw$$ (4.40)

$$= \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi B}^{2\pi B}\vert w\vert e^{ixw}dw$$ (4.41)

$$= 2B^2\mathrm{sinc}\,(2\pi Bx) - B^2\mathrm{sinc}^2\,(\pi Bx),$$ (4.42)

onde

$\mathrm{sinc}\,(x) \equiv \frac{\mathrm{sen}\,(x)}{x},$

é chamada de função erro.

Como os dados de projeção são discretos, o filtro também deve ser discreto. Aplicando-se o critério de Nyquist, com dados uniformemente espaçados por $\Delta x = 1/(2B)$, o filtro de Ram-Lak para posições discretas $x_k = k\Delta x$ é dado por:

$$h_{RL}(0) = B^2 = \frac{1}{4\Delta x^2} ( \mbox{se $k$=0} )$$ (4.43)

$$h_{RL}(0) = ( \mbox{se $k$=par} )$$ 0 (4.44)

$$h_{RL}(0) = -\frac{4B^2}{\pi^2 k^2} = \frac{1}{\pi^2 k^2 \Delta x^2} ( \mbox{se $k$=\'{\i}mpar} )$$ (4.45)

A borda acentuada do filtro Ram-Lak torna o filtro no domínio espacial oscilatório e, portanto, introduz artefatos na imagem reconstruída.

Shepp e Logan, em 1974 sugeriram um filtro alternativo, introduzindo um peso senoidal à função $\vert w\vert$, efetivamente eliminando estes artefatos.

A função derivada é dada por:

$$H_{RL}(w) = t\{\begin{array}{ll} \vert w\vert\mathrm{sen}\,\l... ... w\vert\leq 2\pi B$}\\ 0,&\mbox{ se $\vert w\vert> 2\pi B$} \end{array}.$$ (4.46)

O kernel do filtro no domínio espacial é dado por:

$$h_{SL}(x) = \frac{B}{\pi^2}t\{ \frac{1-\cos 2\pi B[(1/4B)+x]}{(1/4B)+x} + \frac{1-\cos 2\pi B[(1/4B)-x]}{(1/4B)-x} \}$$ (4.47)

Substituindo-se $x_k = k\Delta x$, obtemos a versão discreta:

$$h_{SL}(x) = -\frac{2}{\pi^2 \Delta x^2 (4k^2-1)}$$ (4.48)

$$= -\frac{8B^2}{\pi^2(4k^2-1)}$$ (4.49)

Estes filtros podem ainda ser generalizados para feixes divergentes, e levando-se em consideração o ruído (filtros de Wiener). Podemos escrever o filtro optimizado como:

$H_{\mathrm{opt}} = \vert w\vert H_R(w,\phi),$

onde $H_R(w,\phi)$ é o filtro de Wiener (4.16),

$H_Rt(w_x,w_y) = \frac{H_D^*t(w_x,w_y)}{t\vert H_Dt(w_x,w_y)\vert^2+Rt(w_x,w_y)}.$

A reconstrução, tanto 2-D quanto 3-D, portanto pode ser feita através da transformada de Fourier das projeções, interpolando-se os dados de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, seguida da transformada inversa bi- ou tri-dimensional, ou pelo algoritmo de retro-projeção filtrada.

Note que os algoritmos de reconstrução na maioria dos aparelhos assume que o feixe é monoenergético. Como o coeficiente de atenuação linear é fortemente dependente da energia, o uso de um coeficiente médio é um fator de degradação de resolução. Como feixes de raio-X de baixa energia são atenuados mais fortemente que feixes de alta energia, pode-se restringir a energia do feixe passando-o por um filtro de alumínio ou cobre antes de passar pelo paciente, tornando o feixe mais monoenergético.

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