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Periodicidade e Simetria

Das equações que definem a transformada, se pode ver que a transformada de uma função qualquer é uma função periódica com período N em $u$ e M em $v$:

$$F(w_x,w_y) = F(w_x+N,w_y) = F(w_x,w_y+M) = F(w_x+N, w_y+M).$$

Desta propriedade se pode ver que podemos caracterizar uma função no domínio de frequências completamente, especificando-se os valores dentro destes períodos, N e M. Se os sinais f(x,y) forem reais, a transformada é também simétrica:

$$\vert F(w_x,w_y)\vert = \vert F(-w_x,w_y)\vert = \vert F(w_x,-w_y)\vert = \vert F(-w_x,-w_y)\vert.$$

Se $f(x,y)$ é simétrica, isto é,

$$f(x,y)=f(-x,-y),$$

então a transformada de Fourier também será simétrica:

$$F(w_x,w_y)=F(-w_x,-w_y).$$

Se a função $f(x,y)$ for real, como no caso das imagens, a transformada de Fourier será uma função imaginária, com a parte real simétrica, e a parte imaginária anti-simétrica. Esta propriedade é chamada de propriedade Hermitiana.

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