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Translação Espacial

$${\cal{F}}\left[f\left(x-x_0\right)\right] = e^{-2i\pi w x_0}F(w),$$

já que:

$${\cal{F}}\left[f\left(x-x_0\right)\right] = \int_{-\infty}^\infty f\left(x-x_0\right) e^{-2i\pi wx}\,dx,$$

e fazendo-se a mudança de variáveis $z=x-x_0$,

$${\cal{F}}\left[f\left(x-x_0\right)\right] = \int_{-\infty}^\infty f(z)e^{-2i\pi w(z+x_0)}\,dz$$

$$= e^{-2i\pi wx_0}\int_{-\infty}^\infty f(z)e^{-2i\pi wz}\,dz$$

$$= e^{-2i\pi wx_0}F(w).$$

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