Próxima: Rotação Volta: Transformadas de Fourier Anterior: Alias

Transformada de Hankel

Muitos sistemas bi-dimensionais possuem simetria esférica, de modo que as duas coordenadas cartesianas (x,y) podem ser substituídas por uma variável radial.

$$f(x,y) = f(r),$$

onde $r$ é a coordenada polar:

$$r^2 = x^2 + y^2 \quad \mathrm{e} \quad re^{i\theta}=x+iy,$$

onde:

$$x= r \mathrm{cos}\,\theta, \quad y = r \mathrm{sen}\,\theta \quad \mathrm{e} \quad \theta = \mathrm{tan}\,\frac{y}{x}.$$

A transformada de Fourier equivalente é dada por:

$$F\left(w_x,w_y\right) = F\left(\rho\right),$$

onde $\rho$ é a frequência espacial, dada por:

$$\rho^2 = w_x^2 + w_y^2 \quad \mathrm{e}\quad \rho e^{i\phi}=w_x+iw_y,$$

onde:

$$w_x= \rho \mathrm{cos}\,\phi, \quad w_y = \rho \mathrm{sen}\,\phi \quad \mathrm{e} \quad \phi = \mathrm{tan}\,\frac{w_y}{w_x}.$$

A função $F\left(\rho\right)$ é chamada de transformada de Hankel da função $f(r)$, já que elas estão relacionadas por:

$$F\left(\rho\right) = 2\pi \int_0^\infty f(r) J_0\left(2\pi \rho r\right) r dr,$$

$$f(r) = 2\pi \int_0^\infty F\left(\rho\right) J_0\left(2\pi \rho r\right) \rho d\rho,$$

onde $J_0$ é a função de Bessel de ordem zero:

$$J_0(2\pi \rho r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \exp (-i\rho r \cos \theta)d\theta.$$

Próxima: Rotação Volta: Transformadas de Fourier Anterior: Alias