Efeitos da Constante Cosmológica
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Cosmologia na Relatividade Geral

A observação de que o Universo é homogêneo e isotrópico, e que está em expansão segundo a lei de Hubble, produz condições suficientes para que a Teoria da Relatividade Geral prediga concretamente a topologia e a evolução do Universo.

Para um sistema isotrópico e homogêneo, podemos escrever as coordenadas em um sistema esférico, e considerar somente a coordenada radial, que chamaremos de $r$, distância média entre as galáxias, e a coordenada temporal, $t$. Pode-se demonstrar que a componente i=0, k=0 ou i=t, k=t do tensor de Einstein $G_{ij}$:

${G_{ik} \equiv R_{ik} - \frac{1}{2}g_{ik}R}$

é dada por:

$G_{00} \equiv R_{00} - \frac{1}{2}g_{00}R = -\left(R_{12}^{12}+R_{23}^{23}+R_{31}^{31}\right).$

A condição de homogeneidade implica que a métrica deve ser homogênea. Para uma esfera de raio r, em três dimensões, uma geodésica é dada por:

$$ds^2 = r^2\left(d\theta^2 + \mathrm{sen}^2 \theta\, d\phi^2\right).$$

Para uma métrica de Friedmann, onde para cada valor de $t$ o espaço-tempo representa um hiper-esfera quadri-dimensional de circunferência própria $C$, e o locus $r\,\mathrm{sen}\,\chi=\mathrm{constante}$ define esferas de área $A$, temos:

A circunferência própria ($C$) é dada por:

$$C \equiv \int_0^{2\pi} r(t)d\phi = 2\pi r(t),$$

a área da superfície ($A$):

$$A \equiv \int_0^\pi r(t)d\theta \int_0^{2\pi} r(t)\,\mathrm{sen}\,\theta \,d\phi = 4\pi r^2(t),$$

e o volume ($V$) da quadri-esfera:

$V \equiv \int_0^\pi r(t)d\chi\int_0^\pi r(t) sen\chi ... sen\chi sen\theta \,d\phi = 2\pi r^3(t).$

Neste caso,

$R_{00} - \frac{1}{2}g_{00}R = 3r^{-2}(c^2+\dot{r}^2)$

A equação (24), com $\Lambda=0$, se reduz a:

$$\frac{\dot{r}^2}{r^2} - \frac{8\pi G}{3}\rho = -\frac{c^2}{r^2},$$ (1.27)

já que pela equação (23):

$T_{00} = (\rho c^2+P)u_0u_0-Pg_{00}=\rho c^4.$

Como o volume total deste Universo fechado é $2\pi r^3$, identificando $M$ como a massa total em prótons, nêutrons, elétrons, etc.,

$$\rho_m = \frac{M}{2\pi r^3,}$$

e a equação (27) pode ser escrita como:

$$\frac{1}{2}\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 - \frac{2}{3}\frac{GM}{\pi r} = - \frac{1}{2}c^2.$$ (1.28)

Fazendo a mudança para variáveis adimensionais

$$\xi = \frac{3\pi c^2}{4GM}r,$$

$$\tau = \frac{3\pi c^3}{4GM}t,$$

a equação (28) pode ser re-escrita como:

$(\frac{d\xi}{d\tau})^2 - \frac{1}{\xi} = -1,$

que nós já resolvemos com a solução da equação (14) para o caso do Universo fechado. A densidade total é dada por:

$$\rho = \rho_{\mathrm{mat},0}\frac{r_0^3}{r^3} + \rho_{\mathrm{rad},0}\frac{r_0^4}{r^4}.$$

Quando o Universo está dominado por matéria,

$$r=\frac{r_\mathrm{max}}{2}\left(1-\cos \eta\right),$$

$t=\frac{r_{max}}{2c}(\eta-{sen}\eta),$

onde

$r_{max} = \frac{8\pi}{3c^2}r_0^3\rho_{{mat},0},$

e como:

$H^{-1} \equiv \frac{a}{da/dt} = \frac{a^2}{da/d\eta},$

$H^{-1} = \frac{r_{max}}{2}\frac{(1-\cos\eta)^2}{sen \eta}.$

Quando o Universo era dominado pela radiação:

$r=r_*sen \eta,$

$t=\frac{r_*}{c}(1-\cos\eta)$

onde

$r_* = \sqrt{\frac{8\pi}{3c^2}r_0^4\rho_{{rad},0}}$

e

$H^{-1} = r_*\frac{sen^2 \eta}{\cos\eta}.$

Podemos expandir a equação (27) para $r$ pequeno em:

$r\dot{r} = (\frac{8\pi G\rho_{rad,0}}{3})^{1/2} r_0^2,$

e integrar, assumindo $r=0$ para $t=0$,

$\frac{r^2}{2}= (\frac{8\pi G\rho_{rad,0}}{3})^{1/2} r_0^2 t,$

ou seja,

$r \propto t^{1/2},$   ${para $\rho \simeq \rho_{rad}$

O físico-matemático americano Howard Percy Robertson (1894-1979) e o matemático inglês Arthur Geoffrey Walker (1909-2001), demonstraram em 1935 e 1936 que a métrica mais geral que satisfaz a condição de homogeneidade e isotropia para a geometria do espaço-tempo é a chamada métrica de Robertson-Walker:

${ds^2 = c^2dt^2 - a^2(t)[\frac{dr^2}{1-Kr^2} + r^2(d\theta^2 + sen^2 \theta d\phi^2)]}$

Esta métrica pode ser convertida para a forma de Friedmann, com um fator de renormalização. Para a métrica de Robertson-Walker, a componente (00) da equação de campo de Einstein se reduz a:

${\frac{\dot{a}^2}{a^2}-\frac{8\pi G}{3}\rho = -K\frac{c^2}{a^2}.}$

Como na Equação (3), podemos identificar a constante de Hubble como:

${H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}.}$

A trajetória de uma galáxia que se move junto com a expansão do Universo é dada por (r,θφ)= constante, enquanto que a trajetória de um fóton satisfaz $ds^2=c^2dt^2-d\ell^2=0$. Portanto a distância $\ell$ que um fóton percorre afastando-se radialmente (θ e φ mantidos constantes) de uma fonte é governada pela equação diferencial:

$$a^2(t)\frac{(dr/dt)^2}{1-Kr^2}=\left(\frac{d\ell}{dt}\right)^2=c^2.$$ (1.29)

Logo of fótons sempre atravessam uma distância própria $\ell$ em um intervalo de tempo próprio $(t-t_0)$ à velocidade da luz $c$,

$\ell=c(t-t_0).$

Após ser emitido por uma fonte isotrópica, o fóton atravessa uma esfera de área $4\pi r^2(t) a^2(t)$ em um tempo $t$, mas esta área não é igual a $4\pi \ell^2$, pois depende do valor de $k$ e de $a(t)$.

Por exemplo, para um Universo de Einstein-de Sitter, isto é, plano, K=0 e

$a(t)=a_0(\frac{t}{t_0})^{2/3}$

Se o fóton for emitido num tempo t_e, o desvio para o vermelho (redshift) z na recepção (tempo t₀) será dado por:

$1+z \equiv \frac{a_0}{a(t)} = (\frac{t_0}{t_e})^{2/3}$

A equação (29), para K=0, se reduz a:

$\frac{dr}{dt}=\frac{c}{a(t)}$

de modo que

$r(t_0)=\frac{3c}{a_0}t_0[1-(\frac{t_e}{t_0})^{1/3}]$

onde $4\pi a^2(t)r^2(t_0)$ é a área da esfera centrada na fonte e passando pelo tempo presente. Como $r(z)=a_0r(t_0)$,

$r(z)=\frac{2c}{H_0}\left[1-(1+z)^{-\frac{1}{2}}\right],$

já que para o Universo plano $t_0 = (2/3)H_0^{-1}$. Tendo em vista que Universo plano é Euclidiano, r(z) é a distância no presente da fonte, também chamada de distância comóvel, ou distância radial própria. A distância própria comóvel, que leva em conta que o Universo se expandiu desde que a radiação do fundo do Universo foi emitida na época da recombinação, é de 45,7 bilhões de anos-luz, enquanto a distância própria até a borda do Universo (após inflação, se houve) é de 46,6 bilhões de anos-luz, 2% maior (Distance measures in cosmology, 2000, de David W. Hogg, A Map of the Universe, 2005, de J. Richard Gott, III, Mario Juriĉ, David Schlegel, Fiona Hoyle, Michael Vogeley, Max Tegmark, Neta Bahcall, Jon Brinkmann). Estes valores assumem os valores atuais para a constante de Hubble H₀, a constante cosmológica Λ, a densidade de energia em radiação ρ_r, a densidade de matéria bariônica e escura ρ_m e K=0 (Universo plano). Se a inflação ocorreu, o valor de aceleração H da época era muito maior do que o atual.

A distância que o fóton atravessou desde que foi emitido, chamada de distância de viagem da luz, é dada por:

$\ell(z)=c(t_e-t_0) = \frac{2c}{3H_0}[1-(1+z)^{-\frac{1}{2}}]$

e portanto uma fonte com alto valor de z está mais longe do que a distância atravessada pela luz.

Definindo a pressão de cada componente como $P_i=w_i\rho_i$, $\nabla_\mu T^{\mu,\nu}=0$ implica que a densidade será expressa como

e o parametro de desaceleração

e

para um universo dominado por matéria e constante cosmológica, já que $w_M=0$, $w_{\mathrm{rad}}=1/3$ e $w_\Lambda=-1$.

A radiação do fundo do Universo é normalmente decomposta em esféricos harmônicos

e o momentum de multipolo é dado por

relacionado à separação angular

O valor de $\ell$ do primeiro "pico Doppler", um aumento na potência devido a oscilações acústicas, é diretamente proporcional ao valor de $H_{recombinação}^{-1}$, pois é a escala angular subentendida pelo raio de Hubble quando os fótons da radiação de fundo se originaram, na época da recombinação.

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