Tempo Conformal e Raio do Universo

Considerando a métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker [Howard Percy Robertson (1903-1961), 1935; Arthur Geoffrey Walker (1909-2001), 1937; Georges Henri Joseph Edouard Lamaître (1894-1966), 1927; Alexander Alexandrovich Friedmann (Алекса́ндр Алекса́ндрович Фри́дман, 1888-1925), 1922] em coordenadas polares reduzidas a uma circunferência

ds² = - c²dt² + R²(t)$\Big[$${\frac{{dr^2}}{{1-kr^2}}}$ + r²(dθ² + sen²θdφ²$\Big]$

onde t é o tempo cosmológico desde o Big Bang (ou fim da inflação, se houve), R(t) é o fator de escala, ou raio de curvatura, a(t) = R(t)/R₀ é o fator de escala adimensional, as galáxias individuais participam da expansão cósmica seguindo uma geodésica com valores constantes de r, θ e φ, as coordenadas de comovimento, e k=-1,0,1 é o sinal da curvatura espacial, para universo aberto, plano ou fechado. Por esta definição de a(t), a=1 no presente, mas atente para a mudança de normalização ao calcularmos o raio de curvatura para o Universo plano.

Definindo o tempo conformal η pela relação dη = dt/a

η(t) = $\int_{0}^{t}$${\frac{{dt}}{{a}}}$

de modo que a luz viaja em geodésicas radiais com c dη = ±dr. Deste modo, uma galáxia a uma distância comóvel r de nós emitiu a luz que vemos hoje em um tempo conformal η(t) = η(t₀) - r/c. Desta forma podemos calcular o tempo t e o desvio para o vermelho (redshift)

z = ${\frac{{a(t_0)}}{{a(t)}}}$ - 1

quando a luz foi emitida. Como os fótons viajam em geodésicas nulas de tempo próprio nulo,

r = $\int_{{t_{\mathrm{emit}}}}^{{t_{\mathrm{obs}}}}$c${\frac{{dt}}{{R(t)}}}$

a distância comóvel é constante.

O fator de escala a(t) = a(t₀)/(1 + z) obedece

$\Big($${\frac{{\dot{a}}}{{a}}}$$\Big)^{2}_{}$ = - ${\frac{{Kc^2}}{{a^2}}}$ + ${\frac{{\Lambda c^2}}{{3}}}$ + ${\frac{{8\pi G\rho_m}}{{3}}}$ + ${\frac{{8\pi G\rho_r}}{{3}}}$

para qualquer valor de K, ρ_m∝a^-3 é a densidade de matéria, incluindo a matéria escura fria, ρ_r∝a^-4 é a densidade de radiação média do Universo, principalmente vindo da radiação do fundo do Universo, $\dot{{a}}$ = a_{, t} é a derivada de a em relação ao tempo. Esta equação é chamada Equação de Friedmann.

Podemos escrever $\ddot{{a}}$ = a_{„ tt} a segunda derivada e, portanto, a aceleração da expansão

$\Big($${\frac{{\ddot{a}}}{{a}}}$$\Big)^{2}_{}$ = ${\frac{{\Lambda c^2}}{{3}}}$ - ${\frac{{4\pi G\rho_m}}{{3}}}$ - ${\frac{{8\pi G\rho_r}}{{3}}}$

mostrando que a constante cosmológica produz aceleração, enquanto a densidade de matéria e de radiação produzem desaceleração.

O tempo conformal pode ser obtido integrando-se a equação de Friedman

c η(t) = $\int_{0}^{t}$c${\frac{{dt}}{{a}}}$ = $\int_{0}^{{a(t)}}$$l\{$ - Ka² + ${\frac{{\Lambda}}{{3}}}$a⁴ + ${\frac{{8\pi G}}{{3}}}$a⁴[ρ_m(a) + ρ_r(a)]$r\}^{{-\frac{1}{2}}}_{}$da

A Lei de Hubble é escrita como

${H=\frac{\dot{R}}{R}=\frac{\dot{a}}{a}}$

Note que a(t) é o raio de curvatura do Universo para K = ±1, mas para K = 0 não existe esta escala e podemos renormalizar colocando a₀ = a(t₀)≡R_H0 = cH₀^-1 = 4220 Mpc, para H₀ = 71 km/s/Mpc. Note que esta normalização é diferente da anterior. Desta forma η mede as distâncias comóveis na época atual, em unidades do radio de Hubble atual, R_H0. Para Universo plano, K=0,

c η(a) = c η[a(t)] = $\int_{0}^{a}$$[$${\frac{{a}}{{a_0}}}$Ω_m + Ω_r + $($${\frac{{a}}{{a_0}}}$$)$Ω_Λ$]^{{-\frac{1}{2}}}_{}$${\frac{{da}}{{a_0}}}$

que com os valores atuais resulta em

c η(a₀) = 3,38

indicando que quando olhamos agora em t = t₀, podemos enxergar até uma distância comóvel de c η(a₀)a₀ = 14 300 Mpc=46,6 bilhões de anos-luz. Este é o horizonte de partículas efetivo, onde estão as partículas do momento do Big Bang (ou fim da inflação, se houve). Esta distância é maior do que a idade do Universo, porque é a distância comóvel que as partículas mais velhas terão agora, e não a distância que tinham então. Podemos calcular esta distância em função de a, ou em função de z. Para z_recomb = 1089, c η(z_recomb) = 0.0671 a₀ e, portanto, a distância comóvel da radiação do fundo do Universo é

[c(η₀ - η(z_recomb)]a₀ = 14 000 Mpc

A idade do Universo pode ser escrita como

t(z) = H(z)^-1$l\{$[1 - Ω(z)]^-1 + ${\frac{{K \Omega(z)}}{{2[K(\Omega(z)-1)]^{3/2}}}}$C_K^-1$l[$${\frac{{(2-\Omega(z))}}{{\Omega(z)}}}$$r]$$r\}$

onde o parâmetro de densidade total Ω

Ω = $\sum$Ω_i = ${\frac{{\rho_\Lambda+\rho_m+\rho_r}}{{\rho_{\mathrm{cr\acute{\i}tico}}}}}$ = ${\frac{{8\pi G \rho}}{{2H^2}}}$

ρ_{cr$\acute{{\i}}$tico} = ${\frac{{3H^2}}{{8\pi G}}}$

Como ρ e H mudam com o tempo, o parâmetro de densidade depende da época, mas Ω = 1 é constante para Universo plano (K=0).

ρ_Λ = ${\frac{{\Lambda}}{{8\pi G}}}$

Inserindo a dependencia de z em H(z) e Ω(z) para o caso geral,

H(z) = H₀(1 + z)$\sqrt{{1+\Omega(z)}}$

Ω(z) = ${\frac{{\Omega(1+z)}}{{1+\Omega z}}}$

nos dá a relação tempo-desvio para o vermelho, que pode ser aproximada por

t(z) $\simeq$ H(z)^-1$[$1 + ${\frac{{1}}{{2}}}$Ω(z)^0.6$]^{{-1}}_{}$

C_k(r) = $$\begin{cases}\cos r&\text{if } K=1\cr 1&\text{if } K=0\cr \cosh r&\text{if } K=-1\cr \end{cases}$$

O valor presente do fator de escala, para K = ±1, é obtido diretamente da equação de Friedmann:

${R_0=\frac{c}{H_0}[\frac{(\Omega-1)}{k}]^{-\frac{1}{2}}}$

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