Evolução Térmica após o Big Bang

Consideremos a conservação de energia para um volume V; a primeira lei da termodinâmica pode ser escrita como:

$dE+PdV=0$

onde $P$ é a pressão e $E$ é a densidade de matéria-energia no volume $V$, $E=\rho c^2$. Considerando $V\propto r^3(t)$,

$\frac{dE}{dt} + P\frac{dV}{dt}=0$

ou seja,

$\frac{d}{dt}(\rho c^2 r^3)+P\frac{dr^3}{dt}=0$

$c^2r^3 \dot{\rho}+3\rho c^2 r^2 \dot{r} + 3Pr^2\dot{r}=0$

de modo que

$\dot{\rho}=-3(\rho+\frac{P}{c^2})\frac{\dot{r}}{r}$

Identificando $\dot{r}/r$ como a constante de Hubble, obtemos

$\dot{\rho}=-3(\rho+\frac{P}{c^2})H$                (1)

Se assumirmos um Universo dominado por matéria mas que as partículas de matéria não interagem entre si, $P=0$,

$\dot{\rho}=-3\rho H$

Para uma geometria plana e constante cosmológica nula, já deduzimos que a constante de Hubble será dada por

$H=(\frac{8\pi G}{3}\rho)^\frac{1}{2}$

de modo que

$\dot{\rho}=-3\rho (\frac{8\pi G}{3}\rho)^\frac{1}{2}$

ou seja

$\rho^{-\frac{3}{2}}\dot{\rho}=-\sqrt{24\pi G}$

que pode ser integrado em relação ao tempo

$2\rho^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{24\pi G}\,t$

ou seja,

$\rho= (6\pi Gt^2)^{-1}$

para um Universo dominado por matéria mas com pressão nula.

Para um Universo dominado por radiação,

$P=\frac{1}{3}u=\frac{1}{3}\rho c^2$

a equação (1) se transforma em

$\dot{\rho}=-3(\rho - \frac{1}{3}\rho)H = -4H\rho = -4(\frac{8\pi G \rho}{3})^{\frac{1}{2}}\rho$

de modo que

$\rho^{-\frac{3}{2}}\dot{\rho}=-\sqrt{\frac{128\pi G}{3}}$

que pode ser integrado em relação ao tempo

$2\rho^{-\frac{1}{2}} = \sqrt\frac{128\pi G}{3}\,t$

ou seja,

$\rho_{{rad}} = \frac{3}{32\pi G t^2}$

No início do Universo ele era dominado pela radiação e esta radiação era térmica, de modo que, independente de se o Universo é fechado ou aberto, a densidade de massa das partículas relativísticas (fótons, neutrinos, grávitons, ...) seguia a relação:

$\rho_{{rel}} = \frac{3}{32\pi G t^2}$

já que a equação de campo de Einstein, para pequenos valores do raio do Universo r, pode ser escrita como

$r\dot{r}=(\frac{8\pi G \rho_{{rel}}}{3})^{1/2} r_0^2$

que, com as condições iniciais r=0 em t=0, resulta em

$\frac{1}{2}r^2 = (\frac{8\pi G \rho_{{rel}}}{3})^{1/2} r_0^2 t$

para os primeiros instantes.

Se os fótons fossem os únicos componentes relativísticos de massa-energia presentes, poderíamos escrever

$\rho_{{rel}} = \rho_{{rad}} = \frac{aT^4}{c^2}$

onde $a$ é a constante de densidade de radiação de Stefan-Boltzmann, já que a densidade de energia para um corpo negro de temperatura T é dada por $u=aT^4$, e como $E=mc^2$, $\rho_{{rad}}=u/c^2$. A densidade atual de energia em forma de radiação é diretamente obtida usando-se a temperatura da radiação cósmica do fundo do Universo, atualmente 2,73 K, obtendo-se $\rho_{{rad,atual}}=4,5\times 10^{-31}~{{kg/m^3}}$. Esta densidade é muito menor que a densidade de matéria luminosa, $\rho_{{lum,atual}}\simeq 10^{-29}~{{kg/m^3}}$, de modo que vivemos em um Universo dominado pela matéria.

Entretanto, a altas temperaturas, a produção de pares de partículas-antipartículas ocorre. Se escrevermos então que

$\rho_{{rel}} = q \rho_{{rad}} = q \frac{aT^4}{c^2}$

onde $q$ é um número inteiro maior do que um dependente da temperatura, já que a produção de pares depende da temperatura, podemos escrever

$T = \frac{1}{q^{1/4}} (\frac{3c^2}{32 \pi G a})^{1/4} t^{-\frac{1}{2}}$

Esta equação nos diz que $T=10^{12}$ K($kT=86,25$ MeV) para t=$10^{-4}$ s e $T=10^{10}$ K ($kT=862,5$ keV) para t=1 s e $T=7\times 10^{8}$ K ($kT=64$ keV) para t=180 s. Comparando com a energia de repouso ($E=mc^2$) do próton, de 931 MeV, e do eletron, de 511 keV, vemos que para t<2μs a destruição de pares de bárions-antibárions está em equilíbrio termodinâmico com a radiação ambiente, e para t< 0,7s, pares elétron-pósitrons estavam em equilíbrio com a radiação.
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