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Parâmetro de Densidade

Consideremos agora a força gravitacional resultante sobre uma partícula pertencente a um Universo de massa $M$, homogêneo e isotrópico, em expansão. Consideraremos uma partícula na superfície da esfera de raio $r(t)$:

Em um dado instante, a partícula sofrerá uma aceleração gravitacional dada por:

$${\frac{d^2 r}{dt^2}} = - {\frac{GM} {r^2}}.$$ (1.6)

Esta aceleração é de frenagem, ou seja, tenderá a reduzir a expansão do Universo.

A energia mecânica da partícula, $E$, assumindo-se a constante cosmológica $\Lambda$=0, será:

$$E = \frac{1}{2}m \left({\frac{dr}{dt}} \right)^2 - {\frac{GMm}{r}},$$ (1.7)

Note que no caso em que apenas a gravidade atua no Universo, $E = \mathrm{constante}$. Neste caso, sabemos que o sinal de $\varepsilon$ determina se as partículas poderão se afastar indefinidamente umas das outras ou não:

$E > 0 \rightarrow$ expansão indefinida: Universo aberto.

$E < 0 \rightarrow$ expansão contida: Universo fechado.

Omitiremos a coordenada $t$ para r(t) e H(t) na derivação a seguir. Como a massa $M$ é dada por

$$M = {\frac {4\pi r^3 } {3}}\rho(t),$$ (1.8)

podemos reescrever a eq. (7) como:

$$2E = m\left( {\frac {dr}{dt} } \right)^2 - m{\frac{8\pi Gr^2} {3} }\rho(t),$$ (1.9)

Seja agora a densidade crítica, $\rho_c$, definida como aquela para a qual a gravidade está no limite de conter a expansão (ou seja, $E =0$):

$$\rho_c(t) = {\frac {3H^2}{8\pi G} },$$ (1.10)

Inserindo $\rho_c(t)$ na eq. (9), temos:

$${\frac{2E}{mr^2} } = H^2 - {\frac{H^2~\rho(t)} {\rho_c(t)} } = H^2\left[1 - \Omega(t)\right],$$ (1.11)

onde

$$\boxed{\Omega(t) = \frac{\rho(t)}{\rho_c(t)}}$$

é chamado parâmetro de densidade.

Como $r^2$ e $H^2$ são sempre positivos, os sinais de $E$ e $\Omega(t)$ estão anti-correlacionados:

$\Omega(t) > 1~\rightarrow~\rho(t) > \rho_c(t),~E < 0$: Universo fechado.

$\Omega(t) < 1~\rightarrow~\rho(t) < \rho_c(t),~E > 0$: Universo aberto.

$\Omega(t) = 1~\rightarrow~\rho(t) = \rho_c(t),~E = 0$: Universo plano.

Vamos escrever a energia $E$ em termos das propriedades no presente, usando-se a lei de Hubble:

$$E = \frac{1}{2}m \left({\frac{dr}{dt}} \right)^2 - {\frac{GMm}{r}}=\frac{1}{2}mH_0^2r_0^2 -Gm\frac{4\pi}{3}r_o^2\rho_0\cr$$

Substituindo

$$\Omega_0 = \frac{\rho_0}{\rho_c} = \frac{8\pi G\rho_0}{3H_0^2},$$

obtemos:

$$E = \frac{1}{2}m \left({\frac{dr}{dt}} \right)^2 - {\frac{GMm}{r}}= m\left(\frac{H_0^2}{2}-\frac{1}{2}\Omega_0H_0^2\right)r_0^2.$$

Escrevendo-se a massa $M$ em termos da densidade atual:

$$\frac{\dot{r}^2}{r_0^2}-\frac{2G}{r}\frac{4\pi}{3}\frac{r_0^3}{r_0^2}\rho_0 =H_0^2\left[1-\Omega_0\right],$$

ou

$$\frac{\dot{r}^2}{r_0^2} - H_0^2\Omega_0\frac{r_0}{r} = H_0^2\left[1-\Omega_0\right].$$ (1.12)

Definindo-se dois parâmetros de escala:

$$t \equiv \frac{\tau_*}{H_0},$$

$$D_* \equiv \frac{r}{r_0},$$

podemos escrever a equação (12) como:

$$\left(\frac{dD_*}{d\tau_*}\right)^2 - \frac{\Omega_0}{D_*} = 1 - \Omega_0.$$ (1.13)

Na seção 0.1.2 nós resolvemos o caso de $\Omega=0$. Para $\Omega \not= 1$, vamos reescalar mais uma vez, definindo:

$$\xi \equiv \frac{\vert 1-\Omega_0\vert}{\Omega_0}D_*,$$

e

$$\tau \equiv \frac{\vert 1-\Omega_0\vert^{3/2}}{\Omega_0}\tau_*,$$

para transformar a equação (13) em:

$$\left(\frac{d\xi}{d\tau}\right)^2 - \frac{1}{\xi} = \pm 1,$$ (1.14)

onde o lado direito é +1 se $\Omega_0 < 1$, isto é, Universo aberto, e -1 se $\Omega_0 > 1$, isto é, Universo fechado.

A solução da equação (14) pode ser obtida de:

$$\tau = \int_0^\xi \left(\frac{\xi}{1 \pm \xi}\right)^{1/2} d\xi,$$

assumindo $\xi=0$ para $\tau=0$.

A solução, para o caso do denominador $1-\xi$, em que o Universo é fechado e $\xi \leq 1$, pode ser encontrada fazendo-se a substituição $\xi=\mathrm{sen}^2 (\eta /2)$, pois obtemos a identidade trigonométrica $\mathrm{sen}^2 (\eta/2) = (1-\cos \eta)/2$. Para o caso do denominador $1+\xi$, em que o Universo é aberto e $\xi>1$, a substituição é $\xi=\mathrm{senh}^2 (\eta /2)$, pois obtemos a identidade trigonométrica $\mathrm{senh}^2 (\eta/2) = (\cosh \eta-1)/2$. Por definição:

$$\mathrm{senh}\, \eta \equiv \frac{e^\eta - e^{-\eta}}{2}$$ (1.15)

e

$$\cosh \eta \equiv \frac{e^\eta + e^{-\eta}}{2}$$ (1.16)

Portanto, a solução de forma paramétrica é:

$$\mathrm{Universo~fechado} \xi=\frac{1}{2}(1-\cos \eta), \tau=\frac{1}{2} (\eta-\mathrm{sen}\,\eta);\cr$$

Substituindo as definições de $\tau$ e $\tau_*$, obtemos:

Para $\Omega_0 > 1$:

Para simplificar as equações, vamos definir a variável $b$:

$$b=\frac{\Omega_0-1}{\Omega_0}>0$$

escrevemos

$$\tau_*^\mathrm{Fechado} = \Omega_0^{-\frac{1}{2}} \int_0^{D_*} \sqrt{\frac{x}{1-bx}}dx$$

$$b x = \mathrm{sen}^2(\eta/2) = \frac{1-\cos\eta}{2}$$

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$$b dx = \mathrm{sen}\,(\eta/2) \cos(\eta/2) d\eta$$

e

$$\tau_*^\mathrm{Fechado} = \Omega_0^{-\frac{1}{2}} b^{-\frac{3}{2}} \int \mathrm{sen}^2(\eta/2)d\eta$$

$$= \Omega_0^{-\frac{1}{2}} b^{-\frac{3}{2}} \int \frac{1-\cos\eta}{2}d\eta$$

$$= \frac{\Omega_0^{-\frac{1}{2}} b^{-\frac{3}{2}}}{2}(\eta - \mathrm{sen}\,\eta)$$

$$= \frac{1}{2}\Omega_0\left(\Omega_0-1\right)^{-\frac{3}{2}}\left(\eta - \mathrm{sen}\,\eta\right)$$

ou seja

$$t = \frac{1}{2}H_0^{-1}\Omega_0\left(\Omega_0-1\right)^{-\frac{3}{2}}(\eta - \mathrm{sen}\,\eta),$$ (1.17)

e

$$\frac{r}{r_0} = \frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}\frac{1-\cos\eta}{2}$$ (1.18)

Para $t=t_0$, $r=r_0$:

$$\cos \eta_0 = \frac{2-\Omega_0}{\Omega_0}, \mathrm{para}~\Omega_0>1$$

Para $\Omega_0 \rightarrow \infty$, $\mathrm{com}~\cos \eta_0 \rightarrow -1$ e $\eta_0 \rightarrow \pi$:

$$t_0 \rightarrow \frac{1}{2H_0}\Omega_0^{-\frac{1}{2}}\pi \rightarrow 0$$

Para $\Omega_0 \rightarrow +1$, $\mathrm{com}~\cos \eta_0 \rightarrow 1$ e $\eta_0 \ll 1$:

$$\cos \eta_0 \simeq 1-\frac{\eta_0^2}{2}=\frac{2}{\Omega_0}-1$$

ou

$$-\frac{\eta_0^2}{2} \simeq \frac{2}{\Omega_0}-2 \longrightarrow \eta_0 \simeq 2\left(\frac{\Omega_0-1}{\Omega_0}\right)^{1/2}$$

e

$$t_0 = \frac{1}{2H_0}\Omega_0\left(\Omega_0-1\right)^{-\frac{3}{2}} \left(\eta_0-\mathrm{sen}\,\eta_0\right)$$

Como

$$\eta_0-\mathrm{sen}\,\eta_0 \simeq \eta_0 - \left(\eta_0 - \frac{... ...\frac{\eta_0^3}{6} = \frac{4}{3}\left(\frac{\Omega_0-1}{\Omega_0}\right)^{3/2}$$

$$t_0 \rightarrow \frac{2}{3H_0}\Omega_0^{-\frac{1}{2}}$$

e finalmente, como $\Omega_0 \rightarrow +1$

$$t_0 \rightarrow \frac{2}{3}H_0^{-1}$$

Para $\Omega<1$:

$$\tau_*^\mathrm{Aberto} = \Omega_0^{-\frac{1}{2}} \int_0^{D_*} \sqrt{\frac{x}{1+ax}}dx, \quad\quad a=\frac{1-\Omega_0}{\Omega_0}>0$$

$$ax=\mathrm{senh}\,(\eta/2) = \frac{\cosh\eta -1 }{2}$$

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$$\tau_*^\mathrm{Aberto} = \Omega_0^{-\frac{1}{2}}a^{-\frac{3}{2}} \int \mathrm{senh}^2(\eta/2)d\eta$$

$$= \frac{1}{2}\Omega_0^{-\frac{1}{2}}a^{-\frac{3}{2}}(\mathrm{senh}\,\eta - \eta)$$

$$t = \frac{1}{2}H_0^{-1}\Omega_0(1-\Omega_0)^{\frac{3}{2}}(\mathrm{senh}\,\eta -\eta),$$ (1.19)

e

$$\left(\frac{1-\Omega_0}{\Omega_0}\right)\frac{r}{r_0} = \frac{\cosh\eta-1}{2}$$

ou

$$\frac{r}{r_0} = \frac{\Omega_0}{1-\Omega_0} \frac{\cosh\eta-1}{2}$$

e para $t=t_0$, $r=r_0$:

$$\frac{1-\Omega_0}{\Omega_0} = \frac{\cosh\eta_0-1}{2}$$

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$$\cosh\eta_0 = \frac{2-\Omega_0}{\Omega_0}$$

Para $\Omega_0\rightarrow 1$, $\cosh\eta_0 \rightarrow 1$ e $\eta_0 \rightarrow 0$:

$$\cosh\eta_0 \simeq 1 + \frac{\eta_0^2}{2} \simeq \frac{2}{\Omega_0}-1$$

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$$\eta_0 \simeq 2\left(\frac{1-\Omega_0}{\Omega_0}\right)^{1/2}$$

e

$$\mathrm{senh}\,\eta_0-\eta_0 \rightarrow \eta_0 + \frac{\eta_0^3}... ...\frac{\eta_0^3}{6} = \frac{4}{3}\left(\frac{1-\Omega_0}{\Omega_0}\right)^{3/2}$$

e

$$t_0 \rightarrow \frac{2}{3H_0}\Omega_0^{-\frac{1}{2}} \rightarrow \frac{2}{3}H_0^{-1}$$

e para $\Omega_0 \rightarrow 0$, $\cosh\eta_0\rightarrow \infty$ e $\eta_0 \rightarrow \infty$:

$$\cosh\eta_0 \simeq \frac{e^{\eta_0}}{2} \simeq \frac{2-\Omega_0}{\Omega_0}$$

e pelas definições das funções trigonométricas hiperbólicas (15 e 16):

$$\mathrm{senh}\,\eta_0 \simeq \frac{e^{\eta_0}}{2} \longrightarrow... ...nh}\,\eta_0 - \eta_0 \simeq \mathrm{senh}\,\eta_0 = \frac{2-\Omega_0}{\Omega_0}$$

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$$t_0 \rightarrow \frac{\Omega_0}{2H_0}\frac{1}{\left(1-\Omega_0\ri... ...senh}\,\eta_0 = \frac{1}{2H_0}\frac{2-\Omega_0}{\left(1-\Omega_0\right)^{3/2}}$$

e para $\Omega_0 \rightarrow 0$,

$$t_0 \rightarrow H_0^{-1}$$

Ou seja, os limites são:

$$\Omega_0 \rightarrow 1 \mathrm{Universo~marginalmente~fechado} t_0 =\frac{2}{3}H_0^{-1};\cr$$

Deste modo, a relação entre a idade do Universo e a constante de Hubble no presente, torna-se:

$$\frac{2}{3}H_0^{-1} \leq t_0 \leq H_0^{-1},$$   Universo aberto,

$$0 < t_0 < \frac{2}{3}H_0^{-1},$$   Universo fechado.

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