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Densidade Crítica

Consideremos uma galáxia de massa $m$ movendo-se com velocidade $v$, a uma distância $r$ de um sistema de coordenadas qualquer, em um sistema de massa total $M$ contida no volume de raio $r$. A energia total do sistema, na ausência de cargas elétricas, é a soma da energia cinética com a energia potencial gravitacional:

$E = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{GMm}{r} =$   constante$.$

Dependendo do valor da energia total do Universo, que é uma constante do sistema, o Universo será aberto ou fechado.

$E \begin{cases}>0, &\text{Universo aberto;}\\ =0, &\text{Universo plano;}\\ <0, &\text{Universo fechado.}\end{cases}$

Usando a lei de Hubble:

$v=H_0 r,$

onde $H_0$ é a constante de Hubble no presente, e

$M = \rho_c \frac{4\pi}{3}r^3,$

onde $\rho_c$ é a densidade crítica, isto é, a densidade necessária para parar a expansão do Universo, $E =0$, obtemos:

$\frac{1}{2}H_0^2 mr^2 - \frac{4G\pi}{3}\rho_c mr^2 = 0,$

${\rho_c = \frac{3H_0^2}{8\pi G}.}$

Usando $H_0 = 75$ km/s/Mpc, obtemos

$\rho_c \simeq 1,1 \times 10^{-26}kg/m^3 = 1,1 \times 10^{-29}g/cm^3$

que pode ser comparado com a densidade de matéria visível observada, que é da ordem de $10^{-31}g/cm^3$, ou seja, cerca de 100 vezes menor do que a densidade crítica.

Vamos escrever a distância entre dois pontos quaisquer no espaço como:

$$r(t) = a(t)~r_0,$$ (1.1)

onde $a(t)$ é um fator de escala crescente com o tempo para um Universo em expansão e $r_0$ é a distância entre os dois pontos no instante $t_0$ em que $a_0 = a(t_0) = 1$.

A velocidade de recessão entre os dois pontos pode ser obtida derivando-se (1) no tempo:

$v(t) = \frac{dr}{dt} = \frac {da}{dt}~r_0 = \frac {1}{a}~ \frac{da}{dt}~r(t)$

Se escrevermos:

$$v(t) = H(t)~r(t)$$ (1.2)

como na lei de Hubble, identificamos

$$H(t) = a(t)^{-1}~da/dt=\frac{\dot{a}(t)}{a(t)}.$$ (1.3)

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