Astrometria

Astrometria é o ramo da astronomia relacionado à medida precisa da posição e movimento dos corpos celestes.

A astrometria inicia com a composição do primeiro catálogo de estrelas. Hiparcos Hiparco de Nicéia (c.190-c.120 a.C.), considerado o maior astrônomo da era pré-cristã, construiu um observatório na ilha de Rodes, onde fez observações durante o período de 147 a 127 a.C. Como resultado, ele compilou um catálogo com a posição no céu e a magnitude de 850 estrelas. A magnitude, que especificava o brilho da estrela, era dividida em seis categorias, de 1 a 6, sendo 1 a mais brilhante, e 6 a mais fraca visível a olho nu. Hiparco deduziu corretamente a direção dos pólos celestes, e até mesmo a precessão, que é a variação da direção do eixo de rotação da Terra devido à influência gravitacional da Lua e do Sol, que leva cerca de 26 000 anos para completar um ciclo. Para deduzir a precessão, ele comparou as posições de várias estrelas com aquelas catalogadas por Timocharis de Alexandria (c.320-c.260 a.C.) e Aristyllus de Alexandria 150 anos antes (cerca de 283 a.C. 260 a.C.).

A astrometria teve grande desenvolvimento nos países árabes. Em 850, Alfraganus (Ahmad ibn Muhammad ibn Kathir al-Farghani) escreveu Kitab fi Jawani (Um compendium da ciência das estrelas), com valores revisados da obliqüidade da eclíptica, do movimento de precessão dos apogeus do Sol e da Lua, e da circunferência da Terra. Albatenius (Abu Abdallah Muhammad ibn Jabir ibn Sinan ar-Raqqi al-Harrani as-Sabi al-Batani) (853-929), na Síria, calculou os tempos de lua nova e a duração do ano solar (365 d 5 h 46 m 24s) e sideral, e a precessão dos equinócios (54,5" por ano). Seu trabalho mais importante são as tabelas al-Zij al-Sabi, traduzidas para o latim por Plato Tiburtinus como De Motu Stellarum.

No século X, Azophi (Abd al-Rahman al-Sufi) (903-986), da Pérsia, realizou observações das estrelas, determinando suas posições, magnitudes, cores e fez desenhos de cada constelação, em seu Livro de Estrelas Fixas. Neste livro aparecem pela primeira vez as galáxias (pequenas nuvens) Andromeda e a Grande Nuvem de Magalhães. O egípcio Ibn Yunus (Abu al-Hasan 'Ali abi Sa'id 'Abd al-Rahman ibn Ahmad ibn Yunus al-Sadafi al-Misri) (c. 950-1009) observou mais de 10 000 vezes a posição do Sol durante muitos anos, usando um astrolábio de 1,4 m de diâmetro, no Cairo, Egito. Publicou as tabelas astronômicas al-Zij al-Kabir al-Hakimi, por volta do ano 1000. Suas observações dos eclipses foram utilizadas séculos mais tarde pelo astrônomo canadense-americano Simon Newcomb (1835-1909), diretor do The Nautical Almanac Office do United States Naval Observatory, para investigar o movimento da Lua. Outras observações de Ibn Yunus foram utilizadas pelo matemático e astrônomo francês Pierre-Simon, marquês de Laplace, (1749-1827), no Obliqüidade da Eclíptica e Inequalidades de Júpiter e Saturno. O iraniano Abu-Mahmud al-Khujandi (c.940-1000), de suas observações do Sol com um sextante, calculou a obliqüidade da eclípica em 23°32'19" (23,53°), comparado com a estimativa atual da obliqüidade no século X de 23º35'.

No século XV, o príncipe e astrônomo persa Ulugh Beg (Mirza Mohammad Taregh bin Shahrokh) (c.1393-1449) construiu um sextante com 36 m de raio com o qual compilou o Zij-i-Sultani, onde catalogou 1019 estrelas. No século XVI, o otomano Taqi al-Din (Taqi al-Din Muhammad ibn Ma'ruf al-Shami al-Asadi) (1526-1585) construiu o observatório de Istambul e inventou um relógio mecânico, com molas, com o qual mediu com precisão a ascensão reta das estrelas, revisando o Zij-i-Sultani de Ulugh Beg.

A primeira estimativa correta do valor da Unidade Astronômica ocorreu entre 5 de setembro e 1^o de outubro de 1672, quando o planeta Marte, com magnitude=-2,3, estava muito próximo da estrela brilhante ψ₂ Aquarii de magnitude=4, e próximo da oposição de Marte, portanto próximo do perigeu.

Com as observações simultâneas de Jean Richer (1630-1696) em Cayenne, na Guiana Francesa, Jean Picard (1620-1682) e Olaus Rømer (1644-1710) em Paris, Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) estimou a paralaxe de Marte como 15" entre Cayenne e Paris (7200 km de distância, 25" total, 2R_Terra) e, considerando que Marte está a 1,52 UA do Sol, determinado por Johannes Kepler, estimou o valor da UA como 140 milhões de km. O valor correto é de 149,597870691 milhões de km. Para comparação, o olho humano só consegue detectar ângulos maiores que cerca de 1'=60".
A primeira tentativa de medir a paralaxe das estrelas pelo astrônomo inglês James Bradley (1693-1762) ocorreu em 1729, e embora o movimento das estrelas fosse insignificante para seu telescópio, ele descobriu a aberração da luz (1729, Philosophical Transactions of the Royal Society, XXXV, 637), e a nutação do eixo da Terra (1748, Philosophical Transactions of the Royal Society, XLV, I), após observar seu período completo, de 18,6 anos. Seu catálogo de 3222 estrelas foi refinado em 1807 por Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), o pai da astrometria moderna, medindo a primeira paralaxe estelar: 0,3" para a estrela binária 61 Cygni. Bessel recebeu o prêmio Lalande do Instituto da França por sua tabela de refração, baseada nas observações de Bradley. Bessel foi o primeiro astrônomo a considerar que antes de poder usar uma medida, ele precisava determinar todos os tipos de incertezas que pudessem afetar a medida. Ele também calculou os movimentos próprios das estrelas observadas por Bradley.

Como a paralaxe das estrelas é pequena, somente 60 estrelas tiveram sua paralaxe medida até o fim do século XIX. Somente com a automação das medidas de placas fotográficas, na década de 1960, foi possível compilar com eficiência grandes catálogos.

Observatório Abrahão de Moraes, em Valinhos, SP, do Instituto Astronômico e Geofísico da USP, com círculo meridiano e astrolábio impessoal Danjon.

As medidas das posições precisas das estrelas são feitas com instrumentos dedicados, como o círculo meridiano, que se move somente sobre o meridiano local (linha passando pelos polos e pelo zênite) e registra quando um astro cruza este meridiano, o tubo zenital, que mede somente as estrelas que passam muito próximas do zênite do local, e os astrolábios, que observam o meridiano próximo de uma altitude de 60°, como o astrolábio impessoal de Danjon, em honra do astrônomo francês André-Louis Danjon (1890-1967), um telescópio horizontal onde um prisma é montado com uma face em frente a objetiva do telescópio. Abaixo do prisma existe um espelho formado por um prato com mercúrio líquido. A imagem da estrela, e sua reflexão do espelho de mercúrio, são refletidas internamente no prisma e coincidem no plano focal do telescópio quando a sua distância zenital é exatamente o meio ângulo do prisma (30° para um prisma de 60°).

Nos anos 1980 os CCDs (Charged Coupled Devices) substituíram as placas fotográficas e reduziram as incertezas óticas para a faixa de alguns milisegundo de arco. É importante notar que 1 mili-segundo de arco (msa) é equivalente ao tamanho angular de uma pessoa na superfície da Lua vista da Terra. Para atingir esta precisão, foi necessário corrigir pelo efeito de desvio da luz pelo Sol previsto pela relatividade geral, e que é de 1,7 segundos de arco na borda do Sol, e 4 mili-segundos de arco a 90° do Sol. De 1989 a 1993, o satélite da Agência Espacial Européia (ESA) Hipparcos (High-Precision Parallax Collecting Satellite) obteve astrometria em órbita, escapando das distorções da atmosfera da Terra, medindo a posição, paralaxe e movimento próprio de 118 218 estrelas, com precisão de miliseguindos de arco. O catálogo Tycho incluiu dados de 1 058 332 estrelas, com precisão de 20 a 30 msa. O catálogo Tycho 2, de 2000, soma 2 539 913 estrelas, e inclui 99% de todas as estrelas mais brilhantes que magnitude 11. Atualmente o catálogo do US Naval Observatory, USNO-B1.0, de todo o céu, mantém a posição, magnitude e movimento próprio de mais de um bilhão de estrelas, até V=21. Durante os últimos 50 anos, 7435 placas Schmidt foram utilizadas pra completá-lo, com precisão de 0,2 msa e 0,3 mag em cinco cores [David G. Monet et al. (2003, Astronomical Journal, 125, 984]. O Gaia-PS1-SDSS (GPS1) Proper Motion Catalog combina a astrometria do Gaia Data Release 1, Pan-STARRS 1, SDSS e 2MASS para calcular o movimento próprio de 350 milhões de fontes cobrindo 3/4 do céu até m_r=20, com incerteza sistemática menor que 0,3 msa/ano, e precisão típica de 1,5 a 2,0 msa/ano. A missão espacial Gaia (Global Astrometric Interferometer for Astrophysics) da European Space Agency, com 106 CCDs cobrindo 0,5×1 m, está em operações no ponto lagrangeano 2, a 1,5 milhões de km na direção antisol, desde 2014. Em 25 de abril de 2018 será liberado o Data Release 2, com a paralaxe e movimento próprio de mais de 1 bilhão de estrelas.

A posição de uma fonte astronômica no céu é uma de suas características mais importantes, pela necessidade prática de distinguir de maneira inequívoca a fonte e poder observá-la. A posição de uma fonte é definida através de coordenadas celestes. Estas coordenadas não levam em conta a distância da estrela, somente sua posição aparente na esfera celeste. O sistema equatorial, por ser baseado em um plano de referência comum e reconhecido para todos os observadores na superfície da Terra, o equador celeste, é o mais utilizado para definir a posição de uma fonte. As coordenadas são ascensão reta (α), medida no equador a partir do ponto vernal, isto é, do ponto que representa a intersecção do equador celeste com a eclíptica, e declinação (δ), medida perpendicular ao equador, no meridiano do objeto. Outros sistemas, também compartilhados por todos, são o sistema de coordenadas Eclípticas (λ,ε) e as coordenadas Galáticas (l,b). As coordenadas eclípticas (λ,ε) tomam como referencia o plano da eclíptica, ou seja, o plano orbital terrestre em torno do Sol. A latitude eclíptica (λ) é o ângulo da direção considerada em relação ao plano da eclíptica, enquanto que a longitude eclíptica (ε) é o ângulo medido ao longo da eclíptica, com origem no ponto vernal.

O sistema Galático toma como plano de referência o plano do disco da Via-Láctea, nossa Galáxia, que corresponde à latitude Galática b=0°. A direção ao longo desse plano que corresponde à longitude Galática l=0° é a do centro da Galáxia.

Mas como obter as coordenadas de um objeto astronômico a partir de sua posição numa imagem?

A astrometria consiste na conversão de uma posição em coordenadas planas projetadas (x,y) de uma imagem para um sistema de coordenadas celestes.

Normalmente a astrometria é feita simultaneamente para todos os pontos da imagem, através de equações de transformação do tipo:

α= α₀ + a(x-x₀) + b(y-y₀)+c

δ= δ₀ + d(x-x₀) + e(y-y₀)+f

onde (α,δ) são as coordenadas equatoriais de um ponto (x,y) numa imagem e (α₀,δ₀) são as coordenadas nominais correspondentes ao ponto de referência da imagem (x₀,y₀).

Se o apontamento do telescópio fosse perfeito, as coordenadas do ponto de referência da imagem corresponderiam exatamente às coordenadas (α₀,δ₀). Nesse caso teríamos nas equações acima para α e δ, c=f=0. Em geral, o apontamento inicial é feito colocando o telescópio no zênite e informando ao sistema de controle do telescópio as coordenadas geográficas (latitude λ e longitude φ) do local e a data e hora local da observação. Com essas informações, é possível determinar as coordenadas equatoriais que correspondem ao zênite naquele instante (α_z=tempo sideral local; δ_z=latitude do local), e o telescópio pode ser apontado para qualquer outra coordenada equatorial. Como o apontamento tem falhas, faz-se necessário incluir os termos c e f de correção na astrometria.

Os demais coeficientes (a, b, d e e) também são teoricamente conhecidos, pela escala de placa do telescópio, mas sempre há necessidade de correções. Por exemplo, seja um telescópio cuja câmara CCD está orientada no plano focal de tal forma que a direção de y crescente corresponde ao norte e a direção de x crescente ao leste. Nesse caso teríamos

$a=\frac{1}{cos(\delta)} \frac{ds}{dp}$

$e=\frac{ds}{dp}$

onde ds/dp é a escala da imagem, que em geral é expressa em "/pix ou "/mm. O termo cos(δ) na expressão do coeficiente a se deve ao fato de que a ascensão reta (α) varia ao longo de um paralelo celeste, que só corresponde a um arco de grande círculo no caso do equador celeste (δ=0°). Nos outros casos, a transformação do arco sobre a imagem em um arco em α exige o termo de correção: quanto maior a declinação, menor o arco de círculo sobre o qual α varia e, portanto, mais rápida a variação desta coordenada para uma mesma variação em x.

Assim como no caso da centragem (apontamento) do telescópio, certa flexibilidade é necessária para acomodar variações na orientação do CCD com relação aos pontos cardeais, até porque efeitos de deformação gravitacional sobre os componentes ópticos do detector podem induzir variações nos coeficientes de conversão astrométrica em função da direção de apontamento.

Por vezes, a conversão de coordenadas retangulares (x,y) em coordenadas equatoriais (α,δ) é afetada por deformações da imagem no plano focal. Sabemos que nem sempre a superfície onde se forma a imagem de um telescópio, e onde colocamos o detector, é plana, havendo por vezes efeitos de curvatura. Essas curvaturas em geral afetam mais as posições de objetos longe do centro da imagem. Assim, termos quadráticos em x e y podem ser necessários e precisam ser determinados empiricamente.

Necessariamente a aplicação das transformações dadas acima, ou de outras que incluam termos quadráticos e cruzados, exige que os coeficientes sejam bem determinados, caso a caso. Isso, em geral, é feito pelo uso de estrelas de referência astrométrica nos campos imageados. Estas estrelas de referência têm suas coordenadas equatoriais bem conhecidas. As medidas da suas posições (x_i,y_i) na imagem, portanto, permitem que sejam determinados empiricamente os coeficientes. Em geral usa-se um conjunto de estrelas de referência e determinam-se os coeficientes por ajuste por mínimos quadrados.

Uma vez obtidas as coordenadas equatoriais dos pontos da imagem, a conversão para o sistema de coordenadas eclípticas ou Galáticas se dá por meio de transformações matemáticas conhecidas, já que essas conversões equivalem a uma mudança de plano e eixos de referência, que são equivalentes a aplicar rotações de um sistema para chegar ao outro.

Para finalizar, há ainda que se distinguir astrometria relativa (a um dado sistema) de astrometria absoluta. O processo descrito acima é o de obtenção de valores de coordenadas com relação a um conjunto de estrelas cujas posições são conhecidas em um dado sistema, em geral o sistema equatorial de coordenadas. O problema com esse sistema é que nem o plano do equador, nem a direção do ponto vernal, que lhes servem de referência, constituem um referencial inercial, já que o equador e o eixo de rotação da Terra variam de orientação no espaço, pois a Terra sofre perturbações gravitacionais dos outros objetos do Sistema Solar, em especial do Sol e da Lua. Essas perturbações dão origem aos efeitos de precessão (período=26 mil anos, amplitude=2×23,5°) e nutação do eixo (período=18,6 anos, amplitude=9,2 segundos de arco). Esses efeitos podem ser descritos por modelos de dinâmica gravitacional, mas ainda há termos de deslocamento dos pólos celestes que não são bem descritos pelos modelos, já que envolvem os campos gravitacionais de vários corpos não esféricos. Assim, o sistema equatorial sofre constante degradação, precisando ser continuamente redefinido. É importante notar que não faz sentido falar de coordenadas equatoriais sem especificar a que equinócio (ou seja, onde estava o ponto vernal) elas se referem, que também muda com o tempo.

Além disso, a própria órbita da Terra em torno do Sol é perturbada em função das interações gravitacionais interplanetárias. Tanto o plano da órbita quanto sua excentricidade sofrem perturbações. E novamente, essas são apenas em parte modeladas com precisão.

Assim, o ponto vernal, que é uma das direções de coincidência entre o plano equatorial e o plano orbital, também varia, mesmo que o plano equatorial fosse fixo. Essa variação do plano orbital então também exige que o sistema de coordenadas eclípticas seja descartado como um sistema inercial, posto que está sempre sofrendo variações.

E para finalizar, as estrelas sofrem de movimentos próprios, causados pela aceleração induzida pelo potencial gravitacional dentro da Galáxia. Assim sendo, qualquer sistema de coordenadas baseado no uso de um conjunto de estrelas de referência, também é não inercial e sofre de degradação com o passar do tempo.

A definição de um sistema inercial de coordenadas, para o qual possamos atribuir um caráter de sistema em repouso com relação à complicada dinâmica dos objetos locais do Sistema Solar e da Galáxia, é a de um sistema baseado em fontes distantes, quasares e rádio-fontes. Estes estão entre os objetos mais distantes que conhecemos no Universo. Suas posições relativas são totalmente desvinculadas da dinâmica interna do Sistema Solar e da Galáxia. Assim um sistema de coordenadas baseado nesses objetos como referência pode ser tido como absoluto, ou seja, não sofre uma degradação ao longo do tempo. Desde 2010 a União Astronômica Internacional recomenda o International Celestial Reference Frame 2 (ICRF2, ver http://rorf.usno.navy.mil/ICRF2/), baseado em medidas de Very Long Baseline Interferometry (VLBI) de 323 radio fontes distantes como sistema de coordenadas de referência mais confiável, atingindo uma precisão de 0,02 milissegundos de arco.

Refração

Um dos fatores que precisamos levar em contas nas observações é a refração atmosférica. Seja z a distância zenital de um objeto celeste. Partindo da Lei de Refração

n•sen(z)=n'•sen(z')

onde n' é o índice de refração da atmosfera, n=1 o índice no vácuo, z' é a distância zenital aparente, a refração média, R=z-z', é dada por

R=A tan z' + B tan³ z'

onde A=58,16" e B=-0,067" são valores médios para 10 C e 760 mm de Hg de pressão, por exemplo.
O Astronomical Almanac propõe A=16,27" P/T, para pressão em millibars e T em K.

A correção na ascensão reta e declinação, para um astro com ângulo horário H em um local de latitude Φ é dada por

$\Delta \alpha = \frac{k \sec^2\delta {sen}H} {\tan \delta \tan\phi+\cos H}$
$\Delta \delta = \frac{k(\tan\phi-\tan\delta\cosH)} {\tan \delta \tan\phi+\cos H}$

onde aproximamos k=A e B=0.

Segundo Alexei V. Filippenko (1982, Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 94, 715), ao nível do mar (P=760mm Hg, T=15 C), o índice de refração do ar é dado por:

[n(λ)-1]×10⁶=64,328+29498,1/[146-(1/λ)²]+255,4/[41-(1/λ)²]

onde λ é o comprimento de onda no vácuo em microns.

Para diferentes temperaturas e pressões,

[n(λ)-1]_(T,P)= [n(λ)-1]_(15,760)P[1+(1,049-0,0157T)10^-6P}/[720,883(1+0,003661T)]

Para corrigir este índice pela quantidade de vapor d'água, precisamos multiplicar a expressão acima por (0,0624-0,000680/l2)/(1+0,003661T)f, onde f é a pressão de vapor de água em mm de Hg.

Para uma altitude típica dos observatórios de 2 km e uma latitude de ±30°, as condições médias são P=600mm Hg, T=7 C e f=8mm Hg. Substituindo nas expressões acima, pode-se calcular a refração em segundos de arco num comprimento de onda λ relativa à refração observada em 5000Å, para um astro de distância zenital z, através de:

R(λ)-R(5000Å)=206265[n(λ)-n(5000Å)]tan(z).

Por exemplo, para uma distância zenital z=45°→ sec(z)=1,41, R(3500Å)-R(7000Å)=1,18-(-0,52)=1,70 segundos de arco! Isto significa que a imagem do objeto no azul, observado a esta distância zenital, vai estar deslocada ao longo do ângulo paraláctico (perpendicular ao horizonte) por 1,7 segundos de arco, da imagem no vermelho.

angulo paralatico O ângulo paralático, η de um objeto é o ângulo entre o polo e o zênite, medido no objeto. Não confunda com a paralaxe. Como o ângulo de posição é medido a partir do polo, um ângulo de posição igual ao ângulo paralático é perpendicular ao horizonte. O ângulo paralático pode ser calculado de:

sen(η) = sen(A)×cos(φ)/cos(δ)
cos(η) = [sen(φ) - sen(δ)×cos(z)]/[cos(δ)×sen(z)]
cos(η) = [sen(φ)×sen(z) - cos(φ)×cos(z)×cos(A)]/cos(δ)

onde φ é a latitude do observador, δ a declinação do objeto, z a distância zenital (altitude = 90°-z), e A o azimute do objeto.

δ-δ'= k tan z' cos η
α-α'= k tan z' sec δ' sen η

É muito importante colocar a fenda de um espectrógrafo no ângulo paralático para que o espectro no azul e no vermelho caiam dentro da fenda. Como o instrumento vai girar junto com o telescópio, é necessário estimar o ângulo paralático do meio da exposição antes de iniciar a observação. Nem todos os espectrógrafos estão automatizados para permitirem a mudança da posição da fenda para cada objeto, o que pode introduzir uma perda de luz significativa e muitos problemas na calibração por fluxo, já que a perda para a estrela de comparação não é similar à perda para o objeto.

Aberração

A luz da fonte 1 parecerá ter se originado em 2, pelo telescópio ter se movimentado devido à rotação e/ou movimento orbital da Terra (Fonte: Wikipedia).

A aberração da luz, descoberta por James Bradley em 1728, ocorre por que a posição de uma estrela no céu é deslocada por uma quantidade devido ao movimento da Terra perpendicular à linha de visada. O deslocamento depende da razão entre a velocidade orbital da Terra e a velocidade da luz, e a posição da estrela, já que enquanto a luz atravessa a distância focal do telescópio, a Terra moveu-se um pequeno ângulo. Mas o ângulo não depende da distância focal, já que tanto o cateto quando a hipotenusa dependem desta, cancelando-se. É o mesmo efeito que faz a chuva parecer cair em um ângulo quando estamos caminhando. aberração=v/c senθ, onde v é a velocidade do observador, c a velocidade da luz, e θ o ângulo entre a direção de movimento e o de incidência da luz. A velocidade orbital da Terra em torno do Sol varia ao longo do ano, já que sua órbita é elíptica, mas usando-se o valor médio de v=2πUA/ano=30 km/s, obtém-se a constante de aberração (efeito máximo), v_orbital/c×cosec 1"=20,5", e corresponde ao deslocamento ângular máximo devido ao movimento da Terra. James Bradley mediu que a posição da estrela γ Draconis se moveu 20" de dezembro a março de 1725, e apresentou a teoria da aberração em janeiro de 1729 à Royal Astronomical Society.

Quando o objeto está em quadratura, isto é, a 90° do Sol, a aberração orbital é nula, pois neste caso o movimento da órbita da Terra em torno do Sol não está nem se aproximando nem se afastando do objeto. A aberração diurna, devido à rotação da Terra, depende da latitude do observador, sendo nula nos polos e máxima no equador, já que o polo não se move por rotação, e é no máximo 0,32", quando o observador está no equador, onde a velocidade é maxima, considerando-se a velocidade diurna de v=2πR_Terra/dia=0,4651 km/s. Bradley calculou a velocidade da luz, obtendo c=301 000 km/s, comparando os ângulos de observação de uma estrela com um intervalo de seis meses e usando a velocidade da órbita da Terra, v, e o ângulo φ entre o telescópio e a direção da órbita da Terra c²=(c²+v²-2vccosφ)^1/2.

Referências: William Marshall Smart, Textbook on Spherical Astronomy, 6^th edition, 1977, Cambridge University Press, p. 67-73; Basilio Santiago, texto Astrometria.

Sistema de Coordenadas Globais - World Coordinate System (WCS)

O World Coordinate System (WCS) define a relação entre as coordenadas em píxeis com as coordenadas celestes. Nos cabeçários das imagens astronômicas, normalmente escritas no sistema de transporte de imagens flexível - FITS (Flexible Image Transport System), as indicações das coordenadas para cada pixel da imagem são escritas em palavras chaves (keywords) do WCS. As coordenadas são globais (world) porque permitem identificar cada pixel em um sistema multi-dimensional de parâmetros, sejam as coordenadas celestes em um dado sistema e projeção, sejam as informações sobre um determinado espectro. Por convenção, no FITS todos os ângulos devem ser expressos em graus. Note que tipos de projeções planas diferentes divergem em coordenadas diferentes. Por exemplo, a projeção tipo Mercartor diverge nos polos, enquanto as projeções gnômicas divergem no equador. A projeção TAN, de tangencial, é a projeção da esfera celeste no plano do detector.

As palavras chaves principais, com valores de exemplo, são:

CTYPE1  = 'RA---TAN'           / Tipos de Coordenadas do eixo 1
CTYPE2  = 'DEC--TAN'           / Tipos de Coordenadas do eixo 2
CRVAL1  =          1.497921667 / Valor da coordenada 1 no ponto de referência 
CRVAL2  =        -10.310828889 / Valor da coordenada 2 no ponto de referência 
CRPIX1  =               537.75 / Pixel de referência da coordenada 1
CRPIX2  =                  0.5 / Pixel de referência da coordenada 2
CD1_1   =            -8.56E-05 / Matriz de transformação das coordenadas
CD2_2   =            -8.56E-05 / Matriz de transformação das coordenadas
CDELT1  =            -8.56E-05 / Valor da derivada da coordenada 1
CDELT2  =            -8.56E-05 / Valor da derivada da coordenada 2

Por exemplo, uma imagem atual do SOAR tem no header:

RAPANGL =                 -90. / Position angle of RA axis (deg)                
DECPANGL=                   0. / Position angle of DEC axis (deg)  
NAXIS   =                    2 / Number of axes                                 
NAXIS1  =                  256 / Axis length                                    
NAXIS2  =                 1024 / Axis length     
RA      =           265.257417 / 17:41:01.7 RA (J2000) pointing (deg)  
DEC     =            -53.74644 / -53:44:47.1 DEC (J2000) pointing (deg)
RADECSYS= 'FK5     '           / Deafult coordinate system  
RADECEQ = 'unavail '           / Default equinox  
CTYPE1  = 'RA---TNX'           / Coordinate type                                
CTYPE2  = 'DEC--TNX'           / Coordinate type                                
CRVAL1  =          1.497921667 / Coordinate reference value                     
CRVAL2  =        -10.310828889 / Coordinate reference value                     
CRPIX1  =               537.75 / Coordinate reference pixel 
CRPIX2  =                  0.5 / Coordinate reference pixel
CD1_1   =            -8.56E-05 / Coordinate matrix                              
CD2_2   =            -8.56E-05 / Coordinate matrix                              
CDELT1  =            -8.56E-05                                                  
CDELT2  =            -8.56E-05                                                  
WAT0_001= 'system=image'       / Coordinate system                              
WAT1_001= 'wtype=tnx axtype=ra unavail=system'                                  
WAT2_001= 'wtype=tnx axtype=dec unavail=system'

Uma imagem do VLT:

NAXIS   =                    2          / # of axes in frame                    
NAXIS1  =                 2048          / # pixels/axis                         
NAXIS2  =                 1034          / # pixels/axis          
CRVAL1  =            265.25740          / value of ref pixel                    
CRPIX1  =               1023.0          / Ref pixel in x-axis
CTYPE1  = 'RA---TAN'                    / Coordinate system of x-axis           
CRVAL2  =            -53.74644          / value of ref pixel                    
CRPIX2  =                119.7          / Ref pixel in y-axis 
CTYPE2  = 'DEC--TAN'                    / Coordinate system of y-axis    
RA      =           265.257417          / 17:41:01.7 RA (J2000) pointing (deg)  
DEC     =            -53.74644          / -53:44:47.1 DEC (J2000) pointing (deg)
EQUINOX =                2000.          / Standard FK5 (years)                  
RADECSYS= 'FK5     '                    / Coordinate reference frame   
CD1_1   =     -7.000333000E-05          / Translation matrix element.           
CD1_2   =     -0.000000000E+00          / Translation matrix element.           
CD2_1   =     -0.000000000E+00          / Translation matrix element.           
CD2_2   =      7.000333000E-05          / Translation matrix element.   
HIERARCH ESO DET CHIP1 X     =            1 / X location in array               
HIERARCH ESO DET CHIP1 Y     =            2 / Y location in array               
HIERARCH ESO DET CHIP1 NX    =         4096 / # of pixels along X               
HIERARCH ESO DET CHIP1 NY    =         2048 / # of pixels along Y               
HIERARCH ESO DET CHIP1 PSZX  =         15.0 / Size of pixel in X                
HIERARCH ESO DET CHIP1 PSZY  =         15.0 / Size of pixel in Y                
HIERARCH ESO DET CHIP1 XGAP  =    30.000000 / Gap between chips along x         
HIERARCH ESO DET CHIP1 YGAP  =   480.000000 / Gap between chips along y

e do HST:

NAXIS   =                    2 / Number of axes                                 
NAXIS1  =                 4096 / Axis length                                    
NAXIS2  =                 2048 / Axis length      
/ World Coordinate System and Related Parameters 
WCSAXES =                    2 / number of World Coordinate System axes         
CRPIX1  =               2048.0 / x-coordinate of reference pixel
CRPIX2  =               1024.0 / y-coordinate of reference pixel
CRVAL1  =    265.2912834051976 / first axis value at reference pixel            
CRVAL2  =   -53.73758959227231 / second axis value at reference pixel           
CTYPE1  = 'RA---TAN'           / the coordinate type for the first axis         
CTYPE2  = 'DEC--TAN'           / the coordinate type for the second axis        
CD1_1   = -4.918872670979227E-07 / partial of first axis coordinate w.r.t. x    
CD1_2   = -1.396917954171559E-05 / partial of first axis coordinate w.r.t. y    
CD2_1   = -1.384084948439698E-05 / partial of second axis coordinate w.r.t. x   
CD2_2   = -4.648150629445651E-07 / partial of second axis coordinate w.r.t. y   
LTV1    =        0.0000000E+00 / offset in X to subsection start                
LTV2    =        0.0000000E+00 / offset in Y to subsection start                
LTM1_1  =                  1.0 / reciprocal of sampling rate in X               
LTM2_2  =                  1.0 / reciprocal of sampling rate in Y               
ORIENTAT=   -91.89333046290683 / position angle of image y axis (deg. e of n)   
RA_APER =   2.652613785123E+02 / RA of aperture reference position              
DEC_APER=  -5.373888553233E+01 / Declination of aperture reference position     
PA_APER =             -92.0979 / Position Angle of reference aperture center (deg)
VAFACTOR=   1.000099395635E+00 / velocity aberration plate scale factor         
TELESCOP= 'HST'                / telescope used to acquire data                 
INSTRUME= 'ACS   '             / identifier for instrument used to acquire data 
EQUINOX =               2000.0 / equinox of celestial coord. system    
RA_TARG =   2.652612333333E+02 / right ascension of the target (deg) (J2000)    
DEC_TARG=  -5.373910833333E+01 / declination of the target (deg) (J2000)        
ECL_LONG=           266.753944 / ecliptic longitude of the target (deg) (J2000) 
ECL_LAT =           -30.353201 / ecliptic latitude of the target (deg) (J2000)  
GAL_LONG=           338.133470 / galactic longitude of the target (deg) (J2000) 
GAL_LAT =           -12.035856 / galactic latitude of the target (deg) (J2000)
/ OTHER COORDINATE SYSTEM INFORMATION
APER_REF= 'JWFC      '         / aperture used for reference position
ELON_REF=           266.754033 / ecliptic longitude at reference position (deg) 
ELAT_REF=           -30.352975 / ecliptic latitude at reference position (deg)  
GLON_REF=           338.133712 / galactic longitude at reference position (deg) 
GLAT_REF=           -12.035819 / galactic latitude at reference position (deg)

O sistema de coordenadas FK5 ( Fifth Fundamental catalogue) é anterior ao ICRS (International Celestial Reference System, de 1998), e foi adotado pela IAU em 1984. O FK5 foi baseado na posição de 1535 estrelas fundamentais do FK4 e FK3 (Kopff A., 1937, Dritter Fundamentalkatalog des Berliner Astronomischen Jahrbuchs. I. Die Auwers-Sterne für die Epochen 1925 und 1950, Veröff. Astron. Rechen-Institut Berlin-Dahlem, 54, 117; Kopff A., 1938, Dritter Fundamentalkatalog des Berliner Astronomischen Jahrbuchs. II Die Zusatzsterne für die Epoche 1950, Abh. Preuß. Akad. Wiss. Phys.-math. Kl., 3), com 3117 novas estrelas fundamentais, com magnitudes entre 5,5 e 9,7. O ICRS2 só foi adotado em 2009. Por definição, o FK5 usa o equinócio de 2000, juliano, enquanto que o FK4 usa o de 1950, besseliano. A projeção TAN é um sistema de perspectiva gnomônica zenital [Tales de Miletus (c.624-547 a.C.], de plano tangente sem distorções. As projeções zenitais mapeiam toda a esfera em um plano.
projecao zenital
A projeção TNX não é padrão. Ela segue a convenção para uma projeção no plano tangente, mas adiciona um termo de distorção não linear.

Calcule as coordenadas de primeira ordem xi e eta usando a parte linear indicada em CRPIX e pela matriz CD:

 
         xi = CD1_1 * (x - CRPIX1) + CD1_2 * (y - CRPIX2)
        eta = CD2_1 * (x - CRPIX1) + CD2_2 * (y - CRPIX2)

Adicione a parte não linear da projeção usando os coeficientes dados pelas palavras chaves WAT:
```
 
        xi' =  xi + lngcor (xi, eta)
       eta' = eta + latcor (xi, eta)
```
Use a transformação padrão da projeção plana tangencial para transformar xi' e eta' usando os valores de CRVAL como o ponto tangencial para obter a ascensão reta e a declinação.

As funções não-lineares lngcor(xi,eta) e latcor(xi,eta) são funcões polinomiais cujos coeficientes são dados nas palavras chaves WATj_nnn, onde j indica o eixo e nnn os coeficientes.

O dia juliano modificado, MJD (Modified Julian Date, corresponde a (JD - 2 400 000.5).

A página do observatório virtual do NOAO (National Optical Astronomy Observatories) tem uma ferramenta para analisar e corrigir distorções nestas indicações de coordenadas.

Astrometry.net permite determinar as coordenadas equatoriais de qualquer imagem, calculando os triângulos existentes na imagem e comparando-os com os calculados para todo o céu, desde escalas de vários graus até de alguns minutos de arco. Não é necessário informar qualquer escala ou posição (Dustin Lang, David W. Hogg, Keir Mierle, Michael Blanton & Sam Roweis. 2010, Astronomical Journal, 139, 1782.)

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Astronomia e Astrofísica