Limite de Eddington

Polítropos

Polítropos são modelos para os casos em que a pressão pode ser escrita como uma função que depende somente da densidade. Nestes casos específicos, como para gases degenerados, podemos calcular analiticamente as relações entre pressão, massa e raio. Quando vamos calcular modelos estelares, necessitamos de valores iniciais de pressão central e raio estelar, por exemplo. Como podemos estimar estes valores? Em geral usam-se modelos de polítropos para estes valores iniciais. Os polítropos são adequados para situações especiais, como no caso de anãs brancas e estrelas no Ramo Gigante e Supergigante.

Quando discutimos a equação de estado de um gás completamente degenerado, não-relativístico, obtivemos:

$$P_e = 1,004 \times 10^{13}(\frac{\rho}{\mu_e})^{\frac{5}{3}} \,{dina/cm^2}$$ (1)

que é uma lei de potência com $P \propto (\rho/\mu_e)^{5/3}$.

Outra situação é para uma estrela completamente convectiva, com $\nabla=\nabla_{\mathrm{ad}}=\frac{\Gamma_2-1}{\Gamma_2}$. Como $d\ln P = dP/P$ e

$$\nabla \equiv \frac{d\ln T}{d\ln P}$$ (2)

Integrando-se, obtemos

$$P(r) \propto T^{\Gamma_2/(\Gamma_2-1)}(r)$$ (3)

Se o gás for ideal, $T\propto P/\rho$ e portanto $P(r) \propto \rho^{\Gamma_2}(r)$.

Como nesses exemplos, se a pressão puder ser escrita como uma função da densidade somente, $P=P(\rho)$, então a estrutura da estrela depende somente das equações de equilíbrio hidrostático e continuidade da massa. Em particular, se a pressão em todos os pontos do interior estelar satisfizer a relação

$${P = K\rho^{(n+1)/n}}$$ (4)

com $K$ e $n$ constantes, a configuração é chamada de um polítropo.

Para um gás ideal, $\Gamma_2=5/3$, e $P(r) \propto \rho^{\Gamma_2}(r)$ de uma estrela completamente convectiva nos dá

$frac{n+1}{n}=\frac{5}{3}\longrightarrow n=\frac{3}{2}$

Note que este é o mesmo expoente do gás completamente degenerado, não relativístico.

As equações de equilíbrio hidrostático e continuidade da massa podem ser reduzidas a uma equação diferencial de segunda ordem, dividindo-se a equação de equilíbrio hidrostático por $\rho$, multiplique por $r^2$ e, então, derivando-se em relação a $r$ os dois lados:

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(\frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr}) = -4\pi G\rho$$ (5)

que é a equação de Poisson.

Se definirmos variáveis adimensionais

$$\rho(r) \equiv \rho_c \theta^n(r)$$ (6)

e

$$r \equiv a\xi$$ (7)

onde $\rho_c=\rho(r=0)$ é a densidade central e a constante $a$ dada pela equação

$$a = [\frac{(n+1)K\rho_c^{(1/n-1)}}{4\pi G}]^\frac{1}{2}$$ (8)

a equação de Poisson (equação 5) pode ser escrita como

$$\frac{1}{\xi^2}\frac{d}{d\xi}(\xi^2\frac{d\theta}{d\xi})=-\theta^n$$ (9)

Essa equação é chamada de equação de Lane-Emden, em honra ao físico americano Jonathan Homer Lane (1819-1880), que derivou a equação do equilíbrio hidrostático em 1869 e ao físico suíço Robert Emden (1862-1940). Modelos correspondentes às soluções dessa equação, para um certo valor de $n$, são chamados de polítropos de índice $n$. A pressão será dada por

$$P(r) = K\rho_c^{1+1/n}\,\theta^{1+n} = P_c \theta^{1+n}$$ (10)

Se a equação de estado do material for a de um gás ideal, com

$$P = \frac{\rho}{\mu}N_AkT$$ (11)

então

$$P(r) = K' T^{n+1}(r)$$ (12)

e

$$T(r) = T_c\theta(r)$$ (13)

com

$$K' = (\frac{N_Ak}{\mu})^{n+1}K^{-n}$$ (14)

e

$$T_c = K\rho_c^{1/n}(\frac{N_Ak}{\mu})^{-1}$$ (15)

Portanto, para um polítropo com equação de estado de gás ideal e $\mu$ constante, $\theta$ mede a temperatura. Finalmente, nesse caso, o fator de escala radial é dado por

$$a^2 = (\frac{N_Ak}{\mu})^2 \frac{(n+1)T_c^2}{4\pi G P_c} = \frac{(n+1)K\rho_c^{1/n-1}}{4\pi G}$$ (16)

As condições de contorno $\rho(r=0)=\rho_c$ e $dP/dr=0$ para $r=0$ se traduzem em $\theta(\xi=0)=1$ e $\theta'(0)\equiv d\theta/d\xi=0$. Se o índice politrópico $n$ e a densidade central $\rho_c$ forem dados, podemos integrar a equação de Lane-Emden (equação 9) numericamente do centro até uma distância $r=R$ onde $P=0$. Se chamarmos de $\xi_1$ a variável radial onde $\theta(\xi_1)=0$ para $r=R$, obtemos para o valor do raio $R$:

$$R = a\xi_1 = [\frac{(n+1)P_c}{4\pi G \rho^2_c}]^\frac{1}{2} \xi_1$$ (17)

Dessa forma, especificando K, n e ρ, ou P_c, obtemos o raio R.

Solução analíticas existem para n=0, 1 e 5. Soluções numéricas precisam ser obtidas para um valor de n geral. A solução para n=0 corresponde a uma esfera de densidade constante, e

$$\theta_0(\xi) = 1 - \frac{\xi^2}{6}$$ (18)

com $\xi_1 = \sqrt{6}$. Nesse caso

$$P_c = \frac{3}{8\pi}\frac{GM^2}{R^4}$$ (19)

Para n=1 a solução $\theta_1$ é a função sinc

$$\theta_1(\xi) = \frac{{sen}\,\xi}{\xi}$$ (20)

com $\xi_1 = \pi$. A densidade é dada por $\rho=\rho_c \theta$ e a pressão por $P = P_c \theta^2$.

O polítropo para n=5 tem uma densidade central finita, mas o raio é ilimitado

$$\theta_5(\xi) = [1+\xi^2/3]^{-\frac{1}{2}}$$ (21)

com $\xi_1 arrow \infty$. Apesar de ter raio infinito, o polítropo contêm uma quantidade de massa finita. As soluções com $n>5$ também são infinitas em raio, mas contém também massa infinita. O intervalo de interesse, portanto, está limitado para $0 \leq n \leq 5$.

A massa contida em uma esfera de raio r pode ser obtida pela equação da continuidade da massa

$$dM_r = 4\pi r^2 \rho dr$$ (22)

Em termos de $\xi$, obtemos

$$M_\xi = 4\pi a^3 \rho_c \int_0^\xi \xi^2\theta^n d\xi$$ (23)

Pela equação de Lane-Emden (equação 9), podemos substituir $\theta^n$ por

$$\theta^n = - \frac{1}{\xi^2}\frac{d}{d\xi}(\xi^2\frac{d\theta}{d\xi})$$ (24)

eliminando o fator $\xi^2$ e a própria integral, obtendo

$$M_\xi = 4\pi a^3 \rho_c (-\xi^2\theta')_\xi$$ (25)

onde $(-\xi^2\theta')_\xi$ significa calcular $(-\xi^2d\theta/d\xi)$ no ponto $\xi$. A massa total é dada por $M=M(\xi_1)$ e

$$M = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}(\frac{n+1}{G})^\frac{3}{2}\frac{P_c^{3/2}} {\rho_c^2}(-\xi^2\theta')_{\xi_1}$$ (26)

Com alguma álgebra, pode-se chegar a

$$P_c = \frac{1}{4\pi(n+1)(\theta')^2_{\xi_1}}\frac{GM^2}{R^4}$$ (27)

$$= \frac{8,952\times 10^{14}}{(n+1)(\theta')^2_{\xi_1} } (\frac{M}{M_\odot})^2 (\frac{R}{R_\odot})^{-4}\, {dina/cm^2}$$ (28)

Se a equação de estado for de um gás ideal

$$T_c = \frac{1}{(n+1)(-\xi\theta')_{\xi_1}} \frac{G\mu}{N_Ak}\frac{M}{R}$$ (29)

$$= \frac{2,293 \times 10^7}{(n+1)(-\xi\theta')_{\xi_1}} \mu(\frac{M}{M_\odot})(\frac{R_\odot}{R}) \,{K}$$ (30)

Para cada valor de $n$, podemos obter $K$ em função de $M$ e $R$:

$$K = [\frac{4\pi}{\xi^{n+1} (-\theta')^{n-1}}]^{\frac{1}{n}}_{\xi_1} \frac{G}{n+1}M^{1-1/n}R^{-1+3/n}$$ (31)

Note que se n=3, $K$ depende somente de $M$.

Uma outra quantidade útil é a densidade média

$$\frac{\rho_c}{\langle \rho \rangle} = \frac{1}{3} (\frac{\xi}{-\theta'})_{\xi_1}$$ (32)

Os valores de $n$ que nos interessam são n=3/2, para o caso de um gás completamente degenerado mas não relativístico, $P_e \propto \rho^{5/3}$, que também é o caso de um gás ideal completamente convectivo, e $n=3$ para um gás totalmente relativístico $P_e \propto \rho^{4/3}$.

As soluções numéricas nestes casos estão listados na Tabela (1).

Tabela 1: Resultados para polítropos com n=3/2 e 3

Um polítropo com a massa e o raio do Sol e n=3 tem ρ_c=7.65×10⁴ kg/m³ e P_c=1.25×10¹⁶ N/m², enquanto um modelo do Sol tem ρ_c=1.52×10⁵ kg/m³ e P_c=2.34×10¹⁶ N/m².

Aplicações para Anãs Brancas

Um gás completamente degenerado mas não-relativístico pode ser representado por um polítropo de ordem $n=3/2$. Além disso, a comparação da relação entre pressão e densidade de um polítropo (equação 4) com a equação da pressão degenerada não-relativística (equação 1) mostra que

$$K = \frac{1,004 \times 10^{13}}{\mu_e^{5/3}}$$ (33)

Mas se usarmos o valor da constante K dado pela equação (31), com o valor do coeficiente θ′ dado pela tabela (1), obtemos

$$K=2,477\times 10^{14}(\frac{M}{M_\odot})^\frac{1}{3}(\frac{R}{R_\odot})$$ (34)

Substuindo (33) em (34) obtemos a relação massa-raio das anãs brancas:

$${\frac{M}{M_\odot}=2,08\times 10^{-6}(\frac{2}{\mu_e})^5(\frac{R}{R_\odot})^{-3}}$$ (35)

Vemos que para um gás completamente degenerado, o raio é menor quanto maior for a massa e, pelo princípio da incerteza, maior é a velocidade dos elétrons.

Para o limite completamente degenerado e relativístico, encontramos

$$P_e = 1,243x10^{15}(\frac{\rho}{\mu_e})^{4/3} {dina/cm^2}$$ (36)

Portanto, trata-se de um polítropo com $n=3$. Usando a constante K dada pela equação (31), com o valor do coeficiente θ′ dado pela tabela (1) nos dá

$$K =\frac{1,243\times 10^{15}}{\mu_e^{4/3}}=3,841\times 10^{14}(\frac{M}{M_\odot})^\frac{2}{3}$$ (37)

ou

$${M_{Chand} = 1,456 (\frac{2}{\mu_e})^2 M_\odot}$$ (38)

que é a massa limite de Chandrasekhar, a maior massa que uma anã branca pode alcançar, pois neste caso a velocidade dos elétrons é igual à velocidade da luz!

Limite de Eddington

Para estrelas de altíssima massa, a pressão de radiação domina. Calculemos quando a pressão de radiação é igual à gravidade local; para qualquer valor de radiação acima desse limite, não haverá equilíbrio hidrostático, havendo excessiva perda de massa.

Pela equação do equilíbrio hidrostático, substituindo a pressão total pela pressão de radiação:

$$- \frac{dP_{rad}}{dr} = g_s \rho$$ (39)

A equação do transporte radiativo é dada por

$$L_r = -4\pi r^2 \frac{4ac}{3}\frac{T^3}{K\rho}\frac{dT}{dr}$$ (40)

e a pressão de radiação por

$$P_{rad} = \frac{1}{3}aT^4$$ (41)

Portanto, derivando a equação (41) em relação a $r$, obtemos

$$\frac{dP_{rad}}{dr} = \frac{4}{3}aT^3\frac{dT}{dr}$$ (42)

ou seja, podemos escrever a equação (40) como

$$L_r = -4\pi r^2 \frac{c}{K\rho}\frac{dP_{rad}}{dr}$$ (43)

Substituindo o último termo pela equação (39), obtemos

$$L_r = 4\pi r^2 \frac{c}{K}g_s = 4\pi r^2 \frac{c}{K}\frac{GM}{r^2}$$ (44)

chegando-se ao limite de Eddington, que representa a maior luminosidade que uma estrela de massa $M$ pode ter em equilíbrio hidrostático:

$${L_{Edd} = \frac{4\pi cGM}{K}}$$ (45)

Como para altas temperaturas a opacidade K é dominada pelo espalhamento de elétrons, $K=K_e= 0,2(1+X){cm^2/g}$, podemos estimar, para X=0,7:

$${\frac{L_{Edd}}{L_\odot} \simeq 3,5 \times 10^4 (\frac{M}{M_\odot})}$$ (46)

Na verdade, se a luminosidade for alguns décimos da luminosidade de Eddington, a pressão de radiação será tão intensa que haverá perda de massa significativa.

Se dividirmos a relação entre a massa e a luminosidade na seqüência principal

$\frac{L}{L_\odot} \simeq (\frac{M}{M_\odot})^3$

pela equação (46) obtemos

$\frac{L}{L_{Edd}}\simeq \frac{1}{3,5\times 10^4}(\frac{M}{M_\odot})^2$

ou seja

$L=L_{Edd}$ para$\quad M=\sqrt{3,5 \times 10^4} M_\odot \simeq 187 M_\odot$

Esta é a maior massa para uma estrela na seqüência principal. Sir Arthur Stanley Eddington (1882-1944), no seu livro "A Constituição Interna das Estrelas" de 1929, já propôs que as estrelas acima de uma certa massa sofreriam pulsações que as tornariam instáveis, limitando suas massas.

O limite derivado acima, com a opacidade dada por espalhamento de elétrons, é maior do que o observado, pois o vento é dominado pela opacidade das linhas metálicas, como mostrado por Henny J.G.L.M. Lamers (1941-) & Edward L. Fitzpatrick em 1988, no Astrophysical Journal, 324, 279.

É interessante notar que embora as estrelas tipo O sejam intrínsecamente mais luminosas, como a maior parte da radiação é emitida no ultravioleta, as estrelas A7 supergiantes são mais luminosas no visível. Note também que durante a seqüência principal, o vento de uma estrela de 100 massas solares contribui cerca de 2 × 10⁵¹ ergs, mais do que os cerca de 10⁵¹ ergs despejados no meio interestelar por uma supernova tipo II.