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Degenerescência Total Não-Relativística

Se a energia associada ao momentum $p_0$ for muito menor do que a energia de repouso do elétron, $m_ec^2=0,51$ MeV, então $v_e=p/m_e$ para todos os momenta na distribuição, e a integral da pressão (1.7) é diretamente:

$$P_{e,nr} = \frac{8\pi}{15m_eh^3}p_0^5$$ (1.13)

onde nr significa elétrons não-relativísticos. Usando a relação entre o momentum total e a densidade de elétrons (1.12), demonstramos que a pressão de elétrons é determinada pela densidade de elétrons:

$$\boxed {P_{e,nr} = \frac{h^2}{20m_e}\left(\frac{3}{\pi}\right)^\frac{2}{3} n_e^\frac{5}{3}}$$ (1.14)

Podemos expressar a densidade de elétrons em termos da densidade de massa [veja eq. (1.61)]

$$P_{e,nr} = \frac{h^2}{20m_e}\left(\frac{3}{\pi}\right)^\frac{2}{3} N_A^\frac{5}{3}\left(\frac{\rho}{\mu_e}\right)^\frac{5}{3}\cr$$ (1.15)

onde $\mu_e$ aqui é o peso molecular médio por elétron, ou seja, o número médio de massas atômicas (A) por elétron:

$\frac{1}{\mu_e} = \sum \frac{X_ZZ}{A_Z}$

e

$n_e = \frac{\rho N_A}{\mu_e}$

onde $N_A$ é o número de Avogadro [Amedeo Avogadro (1776-1856)]. Normalmente $\mu_e \simeq 2$, a não ser que o gás contenha uma fração substancial de hidrogênio, o que não é geralmente o caso pois o estado degenerado é atingido no núcleo de estrelas que já queimaram o hidrogênio, e os núcleos de anãs brancas são predominantemente compostos de He, C, O, ou Ne, todos com A/Z=2. Mas para os interiores de planetas gigantes e anãs marrons, onde também há degenerescência, o hidrogênio é dominante.

Note que a pressão degenerada e não relativística dada pela equação (1.15) não depende da temperatura e, portanto, um aumento da temperatura não causa um aumento da pressão, e subsequente expansão, que reduziria a temperatura. Este fato tem implicações na história evolutiva das estrelas, desde a queima explosiva do hélio até a explosão de supernova, como veremos no decorrer deste capítulo.

Vemos pela equação (1.15) que a pressão de um gás de elétrons degenerado aumenta como uma potência 5/3 da densidade. Como para um gás não degenerado a pressão aumenta linearmente com a densidade, é claro que, com o aumento de densidade, existe um ponto em que a pressão degenerada será maior do que o valor dado pela fórmula não degenerada. Podemos definir uma linha no plano $\rho T$ dividindo a região degenerada da não-degenerada, calculando-se os valores para os quais as duas fórmulas são iguais:

ou seja, a pressão completamente degenerada supera a pressão não-degenerada para densidades maiores do que

$\frac{\rho}{\mu_e} > 2,4 \times 10^{-8} T^\frac{3}{2}~{g/cm^3}$

Naturalmente a transição de não-degenerado para degenerado não ocorre abruptamente, mas sim suavemente. Na região de transição, precisamos utilizar a equação que discutiremos na seção de degenerescência parcial. Para o interior do Sol, onde $\rho/\mu_e \simeq 10^2~{g/cm^3}$ e $T\simeq 10^7$ K, a inequalidade mostra que o gás está completamente não-degenerado. Para o interior de uma anã-branca, onde $\rho/\mu_e \simeq 10^6~{g/cm^3}$ e $T\simeq 10^6$ K, a inequalidade se satisfaz, e a pressão degenerada domina.

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