Degenerescência Total Relativística

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Degenerescência Total Relativística

Conforme a densidade de elétrons aumenta, o momentum máximo de um gás de elétrons completamente degenerado aumenta. Em uma certa densidade, os elétrons mais energéticos se tornarão relativísticos. Nestas condições, a substituição de

utilizada para derivar a equação (1.13) é incorreta, e precisamos utilizar a expressão da relatividade

$p=\frac{m_0v}{[1-(v/c)^2]^\frac{1}{2}}$

ou seja

$v=\frac{p/m_0}{[1-(p/m_0c)^2]^\frac{1}{2}}$

Podemos estimar a densidade para a qual os elétrons tornam-se relativísticos, calculando-se $p_0c \simeq 2m_0c^2$ . Usando-se o momentum máximo derivado na equação (1.12), obtemos

$\frac{\rho}{\mu_e} = 7,3 \times 10^6~{g/cm^3}$ relativístico

Ou seja, para densidades aproximando-se deste valor precisamos usar a cinemática relativística.

Inserindo-se a velocidade relativística na integral da pressão (1.7), obtemos

$P_{e,r} = \frac{8\pi}{3mh^3}\int_0^{p_0} \frac{p^4dp}{[1+(p/m_0c)^2]^\frac{1}{2}}$

Para calcular esta integral podemos definir um novo parâmetro

${senh}\theta \equiv \frac{p}{mc}$

de modo que

$dp = mc \cosh \theta d\theta$

e a integral pode ser escrita como

$P_{e,r} = \frac{8\pi m_0^4c^5}{3h^3}\int_0^{\theta_0} senh\theta d\theta$

que pode ser integrada, resultando em

$P_{e,r} = \frac{8\pi m_0^4c^5}{3h^3} (\frac{\mathrm{senh}^3\... h \theta_0}{4} -\frac{3 senh 2\theta_0}{16}+\frac{3\theta_0}{8}$

(1.16)

e, em termos do momentum de Fermi,

$P_{e,r} = \frac{8\pi m_0^4c^5}{3h^3}f(x) = 6,003 \times 10^{22} f(x) dinas/cm^2$

(1.17)

onde

$x=\frac{p_0}{m_oc}=\frac{h}{m_0c}(\frac{3}{8\pi}n_e)^\frac{1}{3}$

$f(x)=x(2x^2-3)(x^2+1)^\frac{1}{2}+3\mathrm{senh}^{-1}x$

Degenerescência total ultra-relativística

No limite ultra-relativístico, $x\gg 1$ ,

$f(x) \rightarrow 2x^4-2x^2+\cdots$

e usando-se somente o primeiro termo da expansão:

$P_{e,ur} = (\frac{3}{8\pi})^\frac{1}{3}\frac{hc}{4}N_A^{4/3} (\frac{\rho}{\mu_e})^\frac{4}{3}$

$P_{e,ur} = 1,243 \times 10^{15}(\frac{\rho}{\mu_e})^\frac{4}{3} dina/cm^2$

(1.17a)

Uma derivação mais simples do limite ultra-relativístico pode ser obtido da definição de pressão (1.7), utilizando (1.10a), assumindo $pc\gg m_0c^2$ e portanto $E \simeq pc$ ; como $v=\partial E/\partial p$ , $v\simeq c$ :

$P_{e,ur} = \frac{1}{3}c\frac{2}{h^3}4\pi \int_0^{p_0}p^3dp = \frac{2\pi c}{3h^3}p^4_0$

Utilizando a relação entre o momentum de Fermi

e a densidade dada pela equação (1.12):

$P_{e,ur}= (\frac{3}{8\pi})^\frac{1}{3}\frac{hc}{4} n_e^{4/3}$

ou, termos da densidade de massa, recuperamos a equação para P_e,ur

$P_{e,ur} = (\frac{3}{8\pi})^\frac{1}{3}\frac{hc}{4}N_A^{4/3} (\frac{\rho}{\mu_e})^\frac{4}{3}$

Portanto a pressão degenerada ultra-relativística depende da potência 4/3 da densidade e, novamente, não depende da temperatura.

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