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A Relação Massa-Luminosidade

No mesmo espírito, podemos usar a condição de equilíbrio radiativo para estimar como a luminosidade de uma estrela depende da sua massa. Usemos

$$\rho \propto \frac{M}{R^3}.$$

Substituindo na equação de equilíbrio hidrostático (1.24), e aproximando as derivadas pelas diferenças, encontramos:

$$\frac{P}{R}\propto \frac{GM}{R^2}\frac{M}{R^3} \longrightarrow P\propto \frac{M^2}{R^4}.$$

Introduzindo estas duas proporcionalidades na equação de estado de um gás ideal (1.25), obtemos para a temperatura:

$$P=\frac{\rho}{m}kT \propto \frac{M}{R^3}T \longrightarrow T\propto \frac{M}{R}.$$

Podemos agora substituir a proporcionalidade para $\rho$ e $T$ na condição de equilíbrio radiativo (1.51), e assumir que o coeficiente de absorção seja uma constante, encontrando:

$$L \propto R^2\frac{M^3}{R^3}\frac{R^3}{M}\frac{M/R}{R},$$

$$\boxed {L \propto M^3.}$$

A dependência sobre o raio se cancela, e obtemos a relação massa-luminosidade teórica, da maneira mais simples, indicando que a luminosidade cresce com a terceira potência da massa.

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