Estrelas Completamente Convectivas

Consideremos uma estrela fria cuja opacidade superficial seja dominada por $H^-$; o coeficiente de absorção pode ser estimado por

$$K_{H^-} \approx 2,5 \times 10^{-31}(\frac{Z}{0,02})\rho^\frac{1}{2} T^9~{cm^2/g}$$ (46)

A relação entre temperatura e pressão dada pela eq. (45)

$P^{n+1} = \frac{n+1}{n+s+4}\frac{16\pi acGM}{3K_gL}T^{n+s+4} [\frac{1-(T_0/T)^{n+s+4}}{1-(P_0/P)^{n+1}}]$

pode ser transformada em uma equação para $\nabla \equiv \frac{d\ln T}{d\ln P}$ em função da temperatura

$$\nabla = \frac{1}{1+n_{ef}}+(\frac{T_{ef}}{T})^{n+s+4} [\nabla_f - \frac{1}{1+n_{ef}}]$$ (47)

onde

$$n_{ef} = \frac{s+3}{n+1}$$ (48)

e o subscrito $f$ significa fotosférico, isto é, $\nabla_f$ é $\nabla$ calculado na fotosfera. De acordo com eq. (40):

$$\nabla_f = \frac{3K_0L}{16\pi acGM}(\frac{\mu}{N_Ak})^n \frac{P_f^{n+1}}{T_{ef}^{n+s+4}}$$ (49)

$$= \frac{3L}{16\pi acGM}\frac{P_fK_f}{T_{ef}^4}$$ (50)

Na fotosfera, $P_f=2g_s/3K_f$, $g_s = GM/R^2$ e $L=4\pi R^2 \sigma T_{ef}^4$, de modo que $\nabla_f=1/8$. Abaixo da fotosfera, a eq. (47), com $n_{ef}=-4$ para a opacidade do $H^-$ se reduz a

$$\nabla(r) = - \frac{1}{3}+\frac{11}{24} [\frac{T_{ef}}{T(r)}]^{-\frac{9}{2}}$$ (51)

Como a temperatura cresce com a profundidade, $\nabla(r)$ também cresce. Em algum ponto $\nabla(r)$ tornar-se-a maior do que $\nabla_{ad}$ e a camada interior será convectiva. Por exemplo, se assumirmos que $\nabla_{ad}$ é dado pelo seu valor de gás ideal, sem ionização, $\nabla_{ad}=0,4$, podemos estimar a temperatura para a qual $\nabla(r)=\nabla_{ad}$. Para a região interior teremos um polítropo de índice 3/2 e

$$P=K'T^{5/2}$$ (52)

como demonstramos na seção de polítropos. Desta maneira, teremos uma fotosfera, de onde escapa a radiação, sobre uma camada radiativa, e sob esta, uma zona de convecção, como no caso do Sol.

No caso extremo em que a convecção continua até o centro da estrela, a constante $K'$ precisa satisfazer as condições de contorno centrais, e portanto a constante $K'$ precisa ser a do polítropo. Vamos escrever a temperatura e a pressão em termos de variáveis adimensionais

$$p = \frac{4\pi}{G}\frac{R^4}{M^2}P$$ (53)

$$t = \frac{N_Ak}{G}\frac{R}{\mu M}T$$ (54)

de modo que a equação (52) se torna

$$p=E_0t^\frac{5}{2}$$ (55)

com

$$E_0 = K'4\pi (\frac{\mu}{N_Ak})^\frac{5}{2}G^\frac{3}{2} M^\frac{1}{2}R^\frac{3}{2}$$ (56)

Como para um polítropo representando um gás ideal o índice é n=3/2 e $K'$ é dado pela equação 14 dos polítropos

$$K'_{n=3/2} = (\frac{N_Ak}{\mu})^\frac{5}{2}K_{n=3/2}^{-3/2}$$ (57)

e substituindo a constante $K$ do polítropo (equação 31 dos polítropos)

$$K'_{n=3/2} = \frac{2,5^{3/2}}{4\pi}[\xi_{3/2}^{5/2} (-\...N_Ak}{\mu})^\frac{5}{2} \frac{1}{G^\frac{3}{2}M^\frac{1}{2}R^\frac{3}{2}}$$ (58)

e concluímos que $E_0$ não depende de nenhum parâmetro físico do modelo, mas somente dos valores superficiais das variáveis politrópicas, sendo uma constante:

$$E_0 = (\frac{-125}{8}\xi_{3/2}^5\theta'_{3/2})^\frac{1}{2}_{\xi_1} = 45,48$$ (59)

utilizando os valores da tabela dos polítropos.

Podemos agora calcular o valor da temperatura e densidade no ponto interior à fotosfera onde $\nabla=\nabla_{ad}=0,4$. Utilizando os valores $\nabla_f=1/8$, e os expoentes $n=1/2$ e $s=-9$ da opacidade de ${H}^-$ na equação (47), obtemos

$$T_c = (8/5)^\frac{2}{9}T_{ef} \approx 1,11~T_{ef}$$ (60)

isto é, a temperatura no topo da zona de conveção é somente 11% maior do que a temperatura efetiva, comprovando que a convecção inicia logo abaixo da fotosfera.

A pressão $P_c$ no topo da camada convectiva é obtida reescrevendo a equação (45) na forma

$$(\frac{P}{P_f})^{n+1} = 1+ \frac{1}{1+n_{ef}} \frac{1}{\nabla_f}[(\frac{T}{T_{ef}})^{n+s+4}-1]$$ (61)

que resulta em $P_c = 2^\frac{2}{3}P_f$. Podemos agora substituir $P_c=K'T_c^{5/2}$ na equação (58) obtendo

$$K' = \frac{3,564 \times 10^{-4}E_0}{\mu^{2,5}} (\frac{M}{M_\odot})^{-\frac{1}{2}} (\frac{R}{R_\odot})^{-\frac{3}{2}}$$ (62)

Como a pressão fotosférica é dada por $2g_s/3K_f$, $K_f = K_0\rho_f^nT_{ef}^{-s}$ e a densidade pode ser eliminada usando-se a equação de estado de um gás ideal,

$$P_f = (\frac{2}{3}\frac{GM}{K_0R^2})^\frac{1}{n+1} (\frac{\mu}{N_Ak})^{-\frac{n}{n+1}} T_{ef}^\frac{n+s}{n+1}$$ (63)

Podemos utilizar $L=4\pi R^2 \sigma T_{ef}^4$ para eliminar as dependências em $R$, e escrever, para n=1/2 e $s=-9$ da opacidade ${H}^-$

$${T_{ef}\simeq 2600 \mu^{13/51}(\frac{M}{M_\odot...)^\frac{7}{51} (\frac{L}{L_\odot})^\frac{1}{102}~{Kelvin}}$$ (64)

A constante obtida, de 2600 K, na realidade é próxima de 4000 K, mas esta relação representa uma série de linhas quase verticais no diagrama H-R, uma para cada valor de $M$ e com $T_{ef}$ praticamente independente de $L$ para cada valor de $M$.

Variação da luminosidade com a temperatura para uma estrela completamente convectiva de massa $M=1~M_\odot$. Para $10~M_\odot$, a temperatura será somente 37% maior.

$T_{ef}$	$L/L_\odot$
2600	1
2569	10
2720	$10^2$
2782	$10^3$
2846	$10^4$
2911	$10^5$
2977	$10^6$

Note que embora a zona convectiva superficial do modelo com uma massa solar abranja somente 0,35% da massa isto corresponde a 17% do raio.

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