Pulsações Não-Radiais

Não Adiabáticas

Heliosismologia

Anãs Brancas

ZZ Cetis

Wu

Asterosismologia

Além de poder calcular a distribuição de matéria no interior estelar, nós podemos medí-la usando a asterosismologia, isto é, as pulsações estelares detectáveis em um grande número de estrelas, as variáveis, observando suas variações de brilho com o tempo.

Estrelas variáveis são aquelas em que a variação não representa apenas as flutuações normais de grandes conjuntos de partículas em movimentos turbulentos, mas apresentam amplitudes mensuráveis com um certo grau de regularidade [Paul Ledoux (1914-1988) & Théodore Walraven (1916-2008), 1958].

No livro Asteroseismology, de Conny Aerts, Jørgen Christensen-Dalsgaard e Donald W. Kurtz, 2010, Springer, podemos ler que numa orquestra, mesmo tocando a mesma nota, podemos distinguir cada instrumento porque a forma e material do instrumento determina quanta potência é colocada em cada um de seus harmônicos naturais. A combinação de frequências, amplitudes e fases de cada harmônico define o timbre do instrumento.

O som é uma onda de pressão. A compressão e rareficação do gás propaga esta onda. Em um gás ideal, as mudanças de pressão são acompanhadas por mudanças na densidade e na temperatura. Se a temperatura é maior, as moléculas estão se movendo mais rápido, colidem mais frequentemente, e a velocidade do som é maior. E para uma mesma temperatura, gases leves se movem mais rápido e, portanto, a velocidade do som é maior para gases mais leves. Desta maneira, se medimos a velocidade do som nas estrelas, podemos determinar a densidade e, através da equação de estado, podemos estudar a temperatura e a composição.

Pulsações Radiais Adiabáticas

As estrelas intrinsicamente variáveis não estão em equilíbrio hidrostático porque as forças não são contrabalanceadas e acelerações locais causam o movimento dos fluidos. Usamos as variações de luminosidade para obter informações dos interiores estelares assim como os geólogos usam os movimentos das crostas terrestres para estudar o interior da Terra na sismologia. Note que para estrelas que não pulsam, só podemos observar suas quantidades externas.

Na Terra, as ondas de pressão, primárias, têm velocidade de 6 km/s na terra e nas rochas, mas somente 1/3 disto na água. As ondas "s", de cisalhamento, secundárias, têm velocidade de 3 km/s, mas maior amplitude e, portanto, maior poder de destruição.

A derivação a seguir é fortemente baseada na de Carl John Hansen (1933-2011) e Steven Daniel Kawaler (1958-) em seu livro de 1994 "Stellar Interiors" (Springer-Verlag).

A estrutura de uma estrela é fundamentalmente determinada pela mecânica. Relembramos que o tempo dinâmico, ou tempo de queda livre, ($t_{\rm dyn}$) é normalmente pequeno se comparado com o tempo de variação da energia dentro da estrela, por exemplo o tempo de Kelvin-Helmoltz ($t_{\rm KH}$). Isto não é estritamente válido para todas estrelas, ou mesmo para as partes externas da maioria das estrelas, mas forma a base da aproximação adiabática no estudo das pulsações estelares. Nesta aproximação, assumimos que todos os mecanismos de mudança de energia podem ser ignorados, de modo que o sistema é puramente mecânico. Por exemplo, o som de um sino depende muito mais de sua estrutura do que da energia dada por uma batida. O problema, nesta aproximação, se reduz a estudar os modos normais de um sistema equivalente a pêndulos e molas, ou mais corretamente, ao estudo de ondas sonoras em uma caixa. A aproximação adiabática é extremamente útil na teoria de estrelas variáveis porque simplifica a análise, e produz resultados precisos da resposta dinâmica da maioria das estrelas. O preço pago é severo, entretanto, porque não nos diz nada sobre a causa real da pulsação das estrelas. Em geral, a pulsação ocorre como uma forma de transporte de energia, com uma equipartição de energia por todos os caminhos possíveis, inversamente proporcional à resistência do material, similar à resistência paralela.

Nesta seção trataremos dos movimentos radiais. Desta maneira assumimos que a estrela mantém a simetria esférica e podemos desprezar os efeitos de rotação, campo magnético, etc.

Como a transferência de calor é ignorada na aproximação adiabática, podemos descrever a estrutura mecânica somente com as equações de massa e de força

$${\partial M_r\over \partial r}=4\pi r^2\rho$$ (1)

$${\ddot r}=-4\pi r^2(\partial P\over \partial M_r) -{GM_r\over r^2}$$ (2)

onde explicitamente introduzimos derivadas parciais para assegurar que derivadas temporais somente aparecem onde for apropriado. Se a estrela fosse totalmente estática, então a aceleração $\ddot r$ seria sempre nula. Imagine que este seja o caso inicial mas, de algum modo, a estrela é forçada a sair deste estado de equilíbrio hidrostático inicial, mas mantendo a simetria esférica. Ainda, para tornar o sistema tratável, supomos que as perturbações do estado estático são pequenas da seguinte maneira: as variáveis com subscrito zero no raio ($r_0$) ou densidade ($\rho_0$) denotam os valores locais das quantidades estáticas em um certo ponto de massa $M_r$. Quando se inicia o movimento, o raio e a densidade, em geral, se afastam dos valores estáticos neste mesmo ponto, e serão funções do tempo e da posição. Essa descrição é uma descrição Lagrangiana do movimento, porque segue um elemento de massa particular onde, podemos imaginar, todas as partículas são pintadas de vermelho, para distingüí-las de outro elemento de massa. Podemos descrever o movimento

$$r(t,M_r)=r_0(M_r)[1+\delta r(t,M_r)/r_0 (M_r)]$$ (3)

$$\rho(t,M_r)=\rho_0(M_r)[1+\delta\rho(t,M_r)/\rho_0 (M_r)]$$ (4)

onde $\delta r$ e $\delta\rho$ são as perturbações Lagrangianas de densidade e de raio. Essas duas quantidades são usadas para descrever o movimento com o tempo de um determinado elemento de massa. A restrição de que as perturbações sejam pequenas impõe $\vert\delta r/r_0\vert \ll 1$ e $\vert\delta\rho/\rho_0\vert\ll 1$.

Podemos agora linearizar as equações de força e de massa substituindo a posição (raio) e densidade deste elemento de massa pelos valores perturbados (3) e (4) e, no resultado, mantendo somente os termos de primeira ordem em $\delta r/r_0$ e $\delta \rho/\rho_0$. Consideremos a equação de massa

$${\partial M_r\over \partial[r_0(1+\delta r/r_0)]}= 4\pi[r_0(1+\delta r/r_0)]^2[\rho_0 (1+\delta\rho/\rho_0)].$$ (5)

Agora carregamos a derivada no denominador do lado esquerdo e expandimos os produtos no lado direito. A primeira operação resulta em um novo denominador $(1+\delta r/r_0)\,\partial r_0+r_0\, \partial(\delta r/r_0)$. A derivada $\partial r_0$ é então fatorada para fora de modo que o lado esquerdo contém o fator $\partial M_r/\partial r_0$. Os termos restantes do denominador são então expandidos em binômios, resultando em primeira ordem:

${{\partial M_r \over \partial r_0 }}[1-{\delta r\over r_0} -r_0{{\partial (\delta r/r_0) \over \partial r_0 }}].$

O lado direito da equação de massa pode ser expandido em primeira ordem

$4\pi r_0^2\rho_0(1+2{\delta r\over r_0}+{\delta\rho\over\rho_0} )$

Quando os dois lados da equação de massa linearizada são igualados, encontramos que o resultado contém a equação de ordem zero

${\partial M_r\over \partial r_0}=4\pi r_0^2\rho_0$

que é simplesmente a equação de continuidade de massa da configuração não perturbada. Como esta equação é automaticamente satisfeita, utilizamos a igualdade para subtrair estes termos da equação linearizada. Este é um resultado típico de uma linearização em torno de um estado de equilíbrio. Podemos então rearranjar os termos, encontrando uma relação entre as perturbações Lagrangianas que precisa ser satisfeita para que a conservação de massa seja mantida na configuração dependente do tempo:

$${\delta\rho\over\rho_0}=-3\,{\delta r\over r_0}-r_0\, {{\partial (\delta r/r_0) \over \partial r_0 }}.$$ (6)

Note que parte desta equação, se ignorarmos o termo derivativo, é a equação homóloga entre o raio e a densidade.

Relações homólogas são definidas como

$r_A = \frac{R_A}{R_B}r_B \quad e \quad M_A(r_A) = \frac{M_A}{M_B}M_B(r_B)$

A equação de força é linearizada similarmente

$$\rho_0 r_0 \,{d^2\delta r/r_0\over dt^2}=\rho_0 r_0 \, {\ddot{\le... ...\partial P_0\over \partial r_0} -P_0{\partial\,\delta P/P_0\over \partial r_0}.$$ (7)

Implícito na derivação desta equação estão as condições $\ddot{r}_0=0$ e $\dot{r}_0=0$, já que o estado de equilíbrio é completamente estático.

Neste ponto da análise tomamos o caminho tradicional em teoria de perturbação e assumimos que todos as perturbações prefixadas por $\delta$ pode ser decompostas nas componentes de Fourier com o elemento de tempo representado por exponenciais. Desta maneira, introduzimos a componente espacial do deslocamento relativo do fluido, $\zeta(r_0)$, como

$${\delta r\over r_0}(t, r_0)=\zeta(r_0)\,e^{i\sigma t}$$ (8)

onde a exponencial representa a descrição da evolução temporal do deslocamento e $\zeta(r_0)$, que depende somente de $r_0$ (isto é, do elemento de massa), pode ser considerado como a forma do deslocamento no instante zero de tempo. Note que $\sigma$ e $\zeta(r_0)$ podem ser complexos. O lado esquerdo da equação de força se torna $\ -\rho_0 r_0\sigma^2\zeta(r_0)\,e^{i\sigma t}$. Esclarecemos que não estamos assumindo que as variáveis físicas são complexas; como

e $\sigma$ pode ser complexa, as variáveis físicas são a parte real do produto, por exemplo

Deve agora ficar claro que temos duas equações linearizadas, de força e de massa, mas três variáveis: $\zeta(r_0)$ e as partes espaciais das perturbações de pressão e de densidade. Isto ocorre porque desprezamos a energética do problema real e deste modo nossa descrição é incompleta. Para tornar o problema em puramente mecânico, relacionamos $\delta\rho$ e $\delta P$ na aproximação adiabática, relembrando a relação Lagrangeana entre mudanças em pressão e mudanças em densidade

$${\Gamma_1}=({\partial\ln P\over \partial \ln \rho})_{\rm ad}.$$ (9)

Como isto é uma abreviação para $P\propto\rho^{\Gamma_1}$ e $\delta$ é o operador Lagrangiano diferencial, tomamos a derivada logarítmica para encontrar

$${\delta P\over P_0}={\Gamma_1} {\delta\rho\over\rho_0}$$ (10)

Esta relação toma o lugar de qualquer equação de transporte de energia e calor que normalmente apareceriam e, agora, temos tantas variáveis quanto equações.

Dentre os vários caminhos que podemos tomar, escolhemos o seguinte:

1. substituímos todas as perturbações pelas suas componentes espaciais de Fourier, com os valores comuns de $e^{i\sigma t}$ cancelados;
2. substituímos todas ocorrências de $\delta\rho$ por $\delta P$ usando a condição adiabática;
3. rearrangamos as duas equações linearizadas de modo que as derivadas espaciais aparecem no lado esquerdo;
4. substituímos as derivadas parciais por derivadas espaciais totais, mas lembrando que dependem somente de $r_0$;
5. retiramos todas referências aos subscritos zero já que todos os termos são perturbações e quantidades da configuração estática.

O resultado é

$${d\zeta\over dr}=-{1\over r}(3\zeta+{1\over{\Gamma_1}}{\delta P\over P})$$ (11)

$${d(\delta P/P)\over dr}=-{d\ln P\over dr} (4\zeta+{\sigma^2 r^3\over GM_r} \,\zeta+{\delta P\over P})$$ (12)

onde o fator $r^3/GM_r$ aparece como resultado de usarmos a equação do equilíbrio hidrostático para eliminar os termos contendo $dP/dr$.

Obtemos portanto um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem acopladas, mas precisamos de condições de contorno. A primeira é simples porque exigimos que $\delta r$ seja zero no centro ($r=0$). Para ver como isto ocorre, considere uma partícula de extensão infinitesimal exatamente no centro de equilíbrio da estrela. Não existe qualquer lugar que a partícula possa se mover ($\delta r \neq0$) sem violar a condição de simetria radial. A regularidade física também requer que $\zeta$ e $d\zeta/dr$ sejam finitos no centro. A única maneira disto ser verdadeiro é se o termo em parêntesis no lado direito da equação (11) se anular no centro. Isto produz a segunda condição de contorno

$$3\,\zeta+{1\over{\Gamma_1}}{\delta P\over P}=0,\quad{em}r=0.$$ (13)

A segunda condição de contorno é aplicada na superfície. Para nossos propósitos é adequado assumir a condição de contorno zero para o modelo estático. Especificamente, assumimos $P \arrow 0$ quando $r \arrow R}$. Condições de contorno mais complicadas são possíveis -- como as para a fotosfera - mas elas não adicionam nada de importante à nossa discussão. A primeira coisa a destacar é que o coeficiente do lado direito da equação de força linearizada (12) é simplesmente

$\frac{d \ln P}{dr} = \frac{1}{\lambda_P}$

onde $\lambda_P$ é a escala de altura da pressão. Esta última quantidade vai a zero rapidamente próximo à superfície, de modo que, para a perturbação relativa na pressão $\delta P/P$ permanecer finita, precisamos

$$4\zeta+{\sigma^2{\cal R}^3\over GM}\,\zeta+{\delta P\over P}=0, \quad{em}r={\cal R}$$ (14)

Embora não evidente imediatamente, esta condição é equivalente a requerer que todas as perturbações interiores sejam refletidas na superfície (que também se move) de volta para o interior; isto é, nenhuma energia de pulsação é perdida pela estrela, já que a pulsação é refletida para dentro da estrela. Esta aproximação não é boa quando a pulsação causa perda de massa, como no caso das estrelas Miras, mas neste caso também a aproximação de perturbações lineares (pequenas) não é válida.

Agora temos um número igual de equações diferenciais e de condições de contorno. Mas todas as equações que derivamos são lineares e homogêneas em $\zeta$ e $\delta P/P$ de modo que permanece a questão sobre como estas quantidades são linearizadas. Como estão, qualquer rescalonamento é permitido, para qualquer das duas perturbações, em um ponto qualquer da estrela, e a solução pode ser tão grande ou tão pequena quanto queiramos. Para restringir, precisamos escolher uma normalização não nula. Isto é completamente arbitrário, mas escolhemos

$$\zeta={\delta r\over r}=1,\quad{em}r={R}$$ (15)

Vemos que isto coloca uma condição adicional ao problema e, de fato, excedemos o número permitido de condições de contorno. A saída é reconhecer que a frequência (possivelmente complexa) $\sigma$ não foi especificada. De fato, ela somente pode tomar alguns valores para os quais as condições de contorno se satisfaçam, incluíndo a condição de normalização. Note que $\sigma$ não depende da condição de normalização porque essa última somente reescalona as soluções. Desta forma $\sigma$ ou, mais precisamente, $\sigma^2$ - já que somente esta quantidade aparece em nossas equações - é um autovalor e as perturbações correspondentes são autofunções para esse $\sigma^2$ particular. Agora discutimos as propriedades dos autovalores desse problema adiabático.

A Equação de Onda Adiabática e Linear

Primeiro colapsamos as duas equações diferencias de primeira ordem para $\zeta$ e $\delta P/P$ em uma equação diferencial de segunda ordem em $\zeta$, diferenciando (11) e eliminando todas referências a $\delta P/P$ e suas derivadas, usando (11) e (12). O resultado é

$${\bf L}(\zeta)\equiv-{1\over\rho r^4} {d \over dr}({\Gamma_... ...\over dr} [(3{\Gamma_1}-4)P]\}\zeta=\sigma^2\zeta$$ (16)

Aqui $\bf L$ é um operador diferencial de segunda ordem e é uma abreviação para a parte central da equação, e neste caso, $\zeta$ é o operado. Podemos escrever de forma simplificada como ${\bf L}(\zeta)=\sigma^2 \zeta$. Esta é uma equação de onda e é chamada de Equação de Onda Adiabática e Linear ou LAWE (Linear Adiabatic Wave Equation).

Todas as quantidades em $\bf L$ são bem comportadas e $\bf L$ é um operador de Sturm-Liouville [Jacques Charles François Sturm (1803-1855), Mémoire sur la résolution des équations numériques, 1829; Joseph Liouville (1809-1882)], que permite a expansão das funções em séries. Podemos também simbolicamente integrar sobre toda a estrela e mostrar que

onde $\zeta^*$ é o conjugado complexo de $\zeta$. Esta igualidade implica que o operador de Sturm-Liouville $\bf L$ é Hermitiano [Charles Hermite (1822-1901)] e que as seguintes afirmações sobre $\sigma^2$ e suas autofunções são verdadeiras:

1. Todos autovalores $\sigma^2$ do sistema são reais assim como as autofunções correspondentes. Existem então duas alternativas. Se $\sigma^2>0$ então $\sigma$ é real e a autofunção completa $\zeta(r)\,e^{i\sigma t}$ é oscilatória no tempo, face o fator temporal $e^{i\sigma t}$. Caso contrário, se $\sigma^2<0$, então $\sigma$ é puramente imaginário e as perturbações crescem ou decaem exponencialmente com o tempo. Vamos tratar somente da primeira possibilidade pois estamos interessados em pulsações e não em expansões ou colapsos.
   
   Variação aproximada do raio da estrela Delta Cephei, descoberta em 1784 pelo astrônomo amador inglês John Goodricke (1764-1786) e é o protótipo da classe de variáveis Cefeidas, com período de 5,37 dias.
   Deste modo, se $\sigma^2>0$, então $\sigma$ é a frequência angular da oscilação com período correspondente $\Pi=2\pi/\sigma$.
2. Existe um valor mínimo para $\sigma^2$ que, se estivéssemos fazendo mecânica quântica, corresponderia ao estado fundamental.
3. Se $\zeta_j$ e $\zeta_k$ são duas autofunções, soluções dos autovalores $\sigma^2_j$ e $\sigma^2_k$, então

   $$\int_0^M\zeta_j^*\zeta_k \,r^2\,dM_r=0 \quad{se}j\ne k.$$ (18)

   As autofunções são desta forma ortogonais.

O que temos são ondas estacionárias de frequência $\sigma^2>0$ de modo que a estrela passa duas vezes pelo estado de equilíbrio durante o período correspondente.

Alguns Exemplos

Consideremos o caso irrealístico em que $\zeta$ e ${\Gamma_1}$ são assumidos constantes por toda a estrela. A equação de onda (LAWE) se reduz a

$$-{1\over r\rho}(3{\Gamma_1}-4){dP\over dr}\zeta=\sigma^2\zeta$$ (19)

No caso de um modelo de densidade constante [$\rho(r)=\langle\rho \rangle$] substituímos $-(1/\rho r)dP/dr$ por $GM_r/r^3$ que se torna $4\pi G\langle\rho\rangle/3$. O resultado é

$$(3{\Gamma_1}-4)\,{4\pi G\over3}\,\langle\rho\rangle=\sigma^2.$$ (20)

Se ${\Gamma_1}>4/3$, então $\sigma$ é real e o período correspondente é

$${\Pi={2\pi\over\sigma}={2\pi\over\sqrt{(3{\Gamma_1}-4) \langle\rho\rangle \,4\pi G/3}}}$$ (21)

Esta é a relação "período - densidade média". Com esta relação, para o Sol, com densidade média de 1,4 g/cm³, obtemos um período de 2,8 horas. Para a estrela Delta Cephei, com 5 massas solares e raio de 1,5 × 10¹² cm=21,4 R_Sol, que resulta em uma densidade média de 7×10^-4 g/cm³, obtemos um período de 104,8 hr=4,4 dias, enquanto seu período observado é de 5,37 dias.

A estrela V725 Sgr tinha um período de 12 dias em 1926, mas seu período atualmente é de cerca de 90 dias, estando possivelmente em um pulso térmico no Ramo Gigante Assintótico (John R. Percy, Anna Molak, Hugh Lund, M. Danie Overbek, Amelia Wehalau e Peter F. Williams, 2006, JAAVSO, 34, 276).

Para uma anã branca não relativística, $M\propto R^{-3}$. Como a densidade é, por definição,

vemos que

Para estrelas anãs-brancas, podemos usar a relação anterior para escrever $P\propto 1/M$.

Se, ${\Gamma_1}< 4/3$ sabemos que encontraremos problemas, pois neste caso a energia total é menor que a energia de ligação. Neste caso $\sigma$ é imaginário e o tempo de crescimento por um fator de e para o crescimento e decaimento dos movimentos é

$${\tau={1\over\vert\sigma\vert}={1\over\sqrt{\vert 3{\Gamma_1}-4\vert \langle\rho\rangle 4\pi G/3}} }$$ (22)

Este é o tempo de queda livre $t_{\rm dyn}$, corrigido por vários fatores.

Diagrama HR com todos os tipos de estrelas pulsantes conhecidos, por Jørgen Christensen-Dalsgaard.

Classe	Tipo	Período	Tef (K)	log L/LSol
Sol e tipo solar	p	3m a horas	4500 a 6600	-0,5 a 2,0
γ Dor	g	8h a 5d	6800 a 8000	0,7 a 1,1
δ Scuti e SX Phe (Pop II)	p	15m a 8h	6600 a 9000	0,6 a 2,0
roAp	p	5 a 22m	6800 a 8500	0,8 a 1,5
RR Lyrae	F,F+1	0,3 a 0,5d	6000 a 7600	1,4 a 1,7
Cefeidas, W Vir	F	1 a 30d	5000 a 7900	2,0 a 4,0
Mira	l=0	>80d	2800 a 5600	2,4 a 4,0
WR	g,S	1h a 5d	25000 a 50000	4,5 a 6,0
β Cephei	p e g	1 a 12h	18000 a 30000	2,0 a 5,0
sdB	p e g	80 a 800s; 0,5 a 3h	16000 a 40000	1,2 a 2,6
DOV, GW Vir, PG1159	g	5 a 80m	65000 a 140000	1,5 a 3,5
DBV, V777 Her	g	2 a 16m	20000 a 30000	-1,0 a 0,7
DAV, ZZ Ceti	g	71 a 4000s	9000 a 12500	-2,8 a -2,2

Pulsações não-radiais

É fácil visualizar as oscilações em uma dimensão, pensando em uma corda fixa nas duas extremidades, como de um violão. O modo fundamental tem somente uma curva suave, sinusoidal de 0 a 180°, com amplitude máxima no meio da corda. O primeiro sobretom tem um nodo - ponto de deslocamento nulo - no meio da corda, e uma sinusoidal completa, com metade da corda se movendo para cima e a outra metade para baixo. A frequência do modo depende do comprimento da corda, da tensão e da composição da corda. Se a corda é uniforme e tensão constante ao longo da corda, o primeiro sobretom tem exatamente o dobro da frequência e é um harmônico, isto com frequência um multiplo inteiro da frequência fundamental.

Em duas dimensões, podemos visualizar as oscilações da membrana de um tambor. Existem nodos em duas direções ortogonais. Um conjunto de modos são círculos concêntricos, e são chamados de modos radiais. Como a membrana está presa na borda do tambor, a borda é sempre um nodo. O modo radial fundamental move a membrana para cima e para baixo, mantendo a simetria radial e com amplitude máxima no centro. O primeiro sobretom radial tem um nodo que é um círculo concêntrico, com os ânulo externo movendo-se em antifase ao círculo central.

Dan Russel produziu animações de oscilações uni e bidimensionais.

A segunda direção de nodos em um tambor dá origem aos modos não radiais. O primeiro modo é um dipolo, que tem um nodo em uma linha dividindo a membrana em duas, com as duas metades oscilando em antifase. O segundo modo tem duas linhas nodais, dividindo a membrana em quatro partes. Como as frequências dos modos não são múltiplos inteiros, estes modos não são harmônicos. Se a densidade e tensão da membrana forem uniformes, as soluções das equações de onda são funções de Bessel.

As estrelas são tridimensionais e suas oscilações naturais têm nodos em três direções ortogonais, normalmente descritos pela distância r ao centro, a latitude θ e a longitude Φ. Os nodos são camadas concêntricas de r constante, cones de θ constante e planos de Φ constante. Na maioria das estrelas o eixo de pulsação coincide com o eixo de rotação, mas existem estrelas com modos de pulsação alinhados com o eixo magnético, como no caso das estrelas Ap rapidamente oscilantes. A analogia da pulsação das estrelas com um instrumento musical para o primeiro modo radial, em que a estrela se expande e se contrai - esfria e esquenta, pode ser feita com um tubo de órgão, já que há um nodo no núcleo, que não se move, e um antinodo (região de maior amplitude) na superfície. Os períodos dos sobretons não são múltiplos inteiros, porque há um gradiente na velocidade do som no interior da estrela, causado pelo gradiente de temperatura e de composição em algumas camadas. O primeiro modo não radial é um dipolo simétrico em relação ao eixo de pulsação: o hemisfério norte se expande e o hemisfério sul se contrai, e vice-versa.

Vamos agora descrever movimentos que não preservam a simetria radial, chamados de modos não radiais. Os tipos possíveis de modos não radiais,

• modos-g (gravitacionais) - movimentos essencialmente transversais,
• modos-p (de pressão) - movimentos essencialmente radiais,
• modos-r (toroidais),
• modos-s (de cisalhamento), ...,

Não descreveremos, por enquanto, as perdas e ganhos de energia, que são necessárias para determinar a estabilidade de um dado modo. Esta aproximação é chamada aproximação adiabática e é útil na determinação dos períodos de pulsação, que dependem essencialmente da estrutura mecânica da estrela.

As referências principais para a teoria de oscilações não radiais são:

• Paul Ledoux (1914-1988) & Théodore Walraven (1916-2008), no artigo "Variable Star", no Handbuch der Physik [ed. S. Flügge, (Berlin: Springer-Verlag), 51, 353-601)] publicado em 1958,
• John Paul Cox (1926-1984) em seu livro "Theory of Stellar Pulsation" (Princeton: Princeton University Press) publicado em 1980, e
• Wasaburo Unno (1926-), Yoji Osaki (1938-), Hiroyasu Ando, Hideyuki Saio (1948-) e Hiromoto Shibahashi (1952-), em duas edições do livro "Nonradial Oscillations of Stars" (Tokyo: University of Tokyo Press), publicadas em 1979 e em 1989.

O estudo de oscilações gravitacionais começou com o artigo de 1883 pelo físico inglês John William Strutt, Lord Rayleigh (1842-1919), que já tinha publicado em 1870 no Treatise on Sound, e em 1871 sua teoria de espalhamento, explicando corretamente, pela primeira vez, por que o céu é azul. Em seu artigo de 1883, ele derivou a relação de dispersão para ondas lineares em um fluido incompressível com estratifição constante. Ele derivou ainda que o crescimento da amplitude de ondas planas é proporcional a raiz quadrada do inverso da densidade média. Em 1890 Lord Rayleigh publicou On Vibrations of an Atmosphere, Philosophical Magazine, 4, Vol. XXIX, p. 173.

As equações que descrevem o comportamento dinâmico do fluido são: a equação de Poisson para o potencial gravitacional, a equação da continuidade e a equação de movimento.

$$\nabla ^2\Phi =4\pi G\rho$$ (23)

$${\partial\rho\over\partial t}+\bf\nabla \cdot (\rho{\bf v})=0$$ (24)

$$\rho({\partial\over\partial t}+{\bf v}\cdot \bf\nabla){\bf v}=-\bf\nabla P-\rho\bf\nabla \Phi$$ (25)

onde ${\bf v}={\bf v}({\bf r},t)$ é a velocidade do fluido e $\Phi$ é o potencial gravitacional que está relacionado com o vetor de gravidade local por ${g}=-\nabla \Phi$. Estas equações produzem uma descrição Euleriana do movimento (denotada por $'$) onde nos colocamos em um local particular, ${\bf r}$, na estrela e vemos o que se passa com $v(r,t)$, $\rho(r,t)$, etc., em função do tempo. Para uma estrela que não esteja em rotação, e esteja em equilíbrio hidrostático, a velocidade $v$ é nula em todos os pontos.

Assumimos que conhecemos o valor das variáveis físicas da estrela não perturbada em função de $r=\vert{\bf r}\vert$. Imaginamos que cada elemento de fluido na estrela seja deslocado de sua posição de equilíbrio em ${\bf r}$ por uma distância vetorial arbitrária e infinitesimal, ${\bf\xi} ({\bf r},t)$. Este tipo de deslocamento - que toma um elemento de fluido identificável e o move a outro lugar - é um deslocamento Lagrangiano, que denotamos por $\delta$. Quando ${\bf v}=0$ em um modelo em equilíbrio, as perturbações Eulerianas e Lagrangianas de ${\bf v}$, descritas respectivamente por ${\bf v'}$ e $\delta{\bf v}$, são as mesmas e são dadas por:

$${\bf v'}=\delta{\bf v}={d{\bf\xi}\over dt}$$ (26)

onde $d/dt$ é a derivada de Stokes (ou material)

$${d\,\over dt}={\partial\,\over\partial t}+{\bf v}\bf\cdot \bf\nabla$$ (27)

Quando o fluido se desloca, as outras variáveis físicas são perturbadas em consonância. Por exemplo, a pressão $P({\bf r})$ originalmente associada com a parcela de fluido em ${\bf r}$ torna-se $P({\bf r}) +\delta P({\bf r},t)$ quando a parcela se move para ${\bf r}+{\bf\xi}({\bf r},t)$. O mesmo ocorre para as outras quantidades e suas perturbações.

Se o movimento é adiabático, a relação entre $\delta P$ e $\delta\rho$ é a mesma que no caso radial:

$${\delta P \over P}=\Gamma_1 {\delta \rho \over \rho}$$ (28)

Não podemos usar uma relação similar para as perturbações Eulerianas $P'({\bf r},t)$ e $\rho'({\bf r})$, porque estas perturbações são utilizadas para encontrar as novas pressões e densidades em um dado ponto ${\bf r}$, sem dizer de onde vem o fluido. Entretanto, podemos relacionar as variações Eulerianas e Lagrangianas pela relação, válida em primeira ordem:

$$\delta \rho=\rho'+{\bf\xi}\bf\cdot \bf\nabla \rho$$ (29)

Podemos derivar esta relação usando uma expansão de Taylor da perturbação em torno de ${\bf r}_0$.

Agora vamos substituir $P$, $\rho$, $\Phi$ e ${\bf v}$, por $P+P'$, $\rho+\rho'$, $\Phi+\Phi'$ e ${\bf v'}$ nas equações anteriores, multipicando todos os termos, e mantendo somente os termos de primeira ordem. Como um exemplo, a equação de força torna-se:

$$\rho{\partial^2{\bf\xi}\over\partial t^2}=-\bf\nabla P-\rho\bf\nabla \Phi-\bf\nabla P'-\rho\bf\nabla \Phi'-\rho'\bf\nabla \Phi$$ (30)

Os dois primeiros termos do lado direito se cancelam, porque

$$-\bf\nabla P-\rho\bf\nabla \Phi=0$$ (31)

devido ao equilíbrio hidrostático da estrela não perturbada. O que resulta é uma equação com somente as quantidades perturbadas como variáveis de primeira ordem. Similarmente, a equação de continuidade e a de Poisson, perturbadas, tornam-se:

$$\rho'+\bf\nabla \bf\cdot (\rho{\bf\xi})=0$$ (32)

$$\nabla ^2\Phi'=4\pi G\rho'$$ (33)

Na equação de continuidade, integramos em relação ao tempo e eliminamos a constante de integração exigindo que $\rho'=0$ quando ${\bf\xi}=0$.

Embora tenhamos linearizado as equações, o conjunto de equações diferenciais parciais que obtivemos é de segunda ordem no tempo e de quarta ordem no espaço. Com o objetivo de reduzir as equações diferenciais parciais em equações diferenciais ordinárias, assumimos que as pulsações são periódicas e podem ser analisadas por séries de Fourier. Esta hipótese permite assumir que todas as variáveis têm uma dependência temporal proporcional a $e^{i\sigma t}$, onde $\sigma$ é a frequência angular. Por examplo, assumimos para $\bf\xi$:

$${ {\bf \xi}({\bf r},t)={\bf \xi}({\bf r})\,e^{i\sigma t}}$$ (34)

Com esta substituição, separamos a variável de tempo das variáveis que são função da posição $(r,\theta ,\phi )$.

Como a energética das oscilações não radiais indica que a amplitude radial é pequena, podemos modelar a porção angular das pulsações através de esféricos harmônicos. Desta forma, a solução para $\bf\xi ({\bf r})$ e $P'({\bf r})/\rho$ é:

$${\bf\xi}(r,\theta,\varphi) = \xi_r(r,\theta,\varphi)\, \pmb{{\bf\rm e}_r}+ \xi_\theta(r,\theta... ...pmb{{\bf\rm e}_\theta} +\xi_\varphi(r,\theta,\varphi)\,\pmb{{\bf\rm e}_\varphi}$$

$$= [\xi_r(r)\,\pmb{{\bf\rm e}_r}+\xi_t(r)\, \pmb{{\bf\rm e}_\th... ...in{\theta}}{\partial\ \over\partial\varphi}] \,Y_{\ell m}(\theta,\varphi)$$

onde

e t representa transversal.

No livro de John David Jackson (1925-) [1975, Classical Electrodynamics, 2nd ed., (New York:Wiley & Sons)] e no livro de Eugene Merzbacher, [1970, Quantum Mechanics, 2nd ed., (New York: Wiley & Sons)] existe uma discussão compacta de esféricos harmônicos. Como a base de esféricos harmônicos é completa, podemos representar qualquer distribuição angular por uma soma de esféricos harmônicos, mas o que queremos aqui é atribuir um único $\ell$ e $m$ a cada modo de pulsação. Isto é possível no caso de rotação lenta, mas não é válido para o caso de rotação rápida ou da existência de campos magnéticos fortes. O índice $\ell$ é chamado de grau harmômico, m é chamado de número azimutal e n, o número de nodos entre o centro e a superfície da estrela, de ordem radial.
As funções esféricos harmônicos $Y_{\ell m}(\theta,\varphi)$ são dadas por

$Y_{\ell m}(\theta,\varphi)=\sqrt{{2\ell+1\over4\pi}{(\ell-m)!\over(\ell+m)!}} \,\,P^m_\ell(\cos{\theta})\,e^{im\varphi},$

onde os $P^m_\ell(\cos{\theta})$ são os polinômios de Legendre associados, gerados por

$P^m_\ell(x)={(-1)^m\over2^\ell\ell!}(1-x^2)^{m/2}\, {d^{\ell+m}\ \over dx^{\ell+m}}(x^2-1)^\ell.$

Aqui escrevemos $x$ no lugar de $\cos{\theta}$. Os valores de $\ell$ e $m$ para estas funções são $\ell=0,1,\ldots$ (um inteiro), e $m$ é um inteiro com $\vert m\vert\le\ell$ para assegurar soluções regulares e de valor único.

Antes de continuar, definimos algumas frequências importantes. A primeira é a frequência de Brunt-Väisälä $N$:

$${N^2=-Ag=-g[{d\ln{\rho}\over dr}-{1\over\Gamma_1 }{d\ln{P}\over dr} ] }$$ (35)

onde g é a aceleração gravitacional local. $N$, em sua interpretação mais simples, é a freqüência de oscilação associada à perturbação de um elemento de fluido em um meio estável à convecção ($N^2>0$), isto é, associada com a flutuabilidade. Como um exemplo, se colocarmos uma rolha em um pote com água, a rolha oscilará para cima e para baixo com a frequência de Brunt-Väisälä. O físico finlandês Vilho (Yrjö) Väisälä (1891-1971) em 1925, e o meteorologista inglês Sir David Brunt (1886-1965), em 1927, derivaram independentemente a fórmula para a frequência de flutuabilidade (buoyancy) e que corresponde a maior frequência de uma oscilação gravitacional em uma atmosfera completamente compressível. Esta frequência é normalmente descrita como a frequência de Brunt-Väisälä. Estas ondas são detectadas na atmosfera da Terra.

A segunda frequência é a frequência de Lamb, $S_\ell$, definida em 1910 pelo matemático inglês Sir Horace Lamb (1849-1934), como:

$${ S_\ell^2={\ell(\ell+1)\over r^2}\,{\Gamma_1 P\over\rho}= {\ell(\ell+1)\over r^2} \,v_s^2}$$ (36)

Esta é a frequência análoga à frequência acústica para ondas não radiais.

Definimos também o número de onda transversal, $k_t$, (com unidades de $\rm cm^{-1}$)

$k_t^2={\ell(\ell+1)\over r^2}={S_\ell^2\over v_s^2}.$

Se relacionamos o comprimento transversal $\lambda_t=2\pi/k_t$ a $k_t$, então $S_\ell^{-1}$ é o tempo que leva uma onda sonora para viajar a distância $\lambda_t/2\pi$.

Em 1940, Carl-Gustaf Rossby (1898-1957) mostrou que os gradientes horizontais do potencial de vorticidade (${\bf\nabla \times v}$) podem atuar como uma força restauradora para perturbações ondulatórias, atualmente chamadas de ondas de Rossby, ou modos-r. No Sol, as ondas de Rossby na fotosfera têm amplitude radial de cerca de 100 metros e deslocamentos horizontais de 45000 km, e já foram medidas pelo satélite SOHO. Na atmosfera da Terra, os deslocamentos radiais são da ordem de 5 cm e os horizontais de cerca de 500 km.

Podemos aprender bastante das soluções da equação diferencial ordinária para $\xi_r$ e $\xi_t$ realizando uma análise local do sistema. Assumimos que $\xi_r$ e $\xi_t$ têm variações espaciais mais rápidas do que as outras variáveis físicas que aparecem nas equações (por exemplo $N^2$); outras variáveis podem portando ser consideradas constantes dentro de uma região limitada de raio.

Para quantificar, assumimos que tanto $\xi_r$ quanto $\xi_t$ variam espacialmente como $e^{ik_r r}$, onde o número de onda $k_r$ é grande comparado a $r$. Quando inserimos esta exponencial complexa nas equações diferencias (30) a (33), obtemos um conjunto homogêneo de equações algébricas em $\xi_r$ e $\xi_t$. O determinante dos coeficientes precisa ser nulo para obtermos soluções não triviais. Se mantemos somente os termos dominantes em $k_r$, obtemos a relação de dispersão:

$${ k_r^2={k_t^2\over\sigma^2 S_\ell^2}\,(\sigma^2-N^2)( \sigma^2-S_\ell^2)}$$ (37)

onde, com antes, assumimos que $\sigma^2$ é positivo. Essa equação mostra que:

• 1. Se $\sigma^2$ é maior ou menor do que tanto $N^2$ quanto $S_\ell^2$, então $k_r^2>0$ e soluções propagando-se sinusoidalmente estão presentes, já que $k_r$ é real e as ondas são senos e cossenos.
• 2. Se $\sigma^2$ tem um valor intermediário entre $N^2$ e $S_\ell^2$, então $k_r$ é imaginário, e soluções realísticas decaem exponencialmente. Essas são ondas evanescentes.

Variação da frequência de Brunt-Väisälä (N) e da frequência de Lamb (S_l) no interior de um modelo do Sol e de uma anã branca DA.

Dessa forma, $N^2$ e $S_\ell^2$ são frequências críticas para a propagação das ondas. O conjunto de equações de oscilações não radiais não é do tipo de Sturm-Liouville porque torna-se bilinear em $\sigma^2$ devido à existência de duas forças restauradoras, de pressão e gravitacional.

Podemos resolver para $\sigma^2$ na relação de dispersão em dois limites de ondas propagantes. Para facilitar, definimos o número de onda total, $K$, como $K^2=k_r^2+k_t^2$ (como Unno et al. 1979). A onda pode viajar em uma combinação de direções radiais e transversais. Em uma análise local, $K$ deve ser grande. Então, se $\sigma^2$ é muito maior do que tanto $N^2$ quanto $S_\ell^2$, e $\vert N^2\vert$ é menor do que $S^2_\ell$ (como é o caso usual) a raiz "grande" da equação (37) é:

$${ \sigma_p^2\approx {K^2\over k_t^2}\,S_\ell^2=(k_r^2+k_t^2) v_s^2\quad (\sigma^2\gg N^2,S_\ell^2) }$$ (38)

Colocamos o subscrito "p" em $\sigma^2$ para denotar "pressão" já que somente a velocidade do som está presente nessa expressão. Esses são modes de pressão ou acústicos, e normalmente são denominados como "modos-p" na literatura de pulsação. Os modos são radiais quando $\ell$ é zero. A raiz pequena segue se $\sigma^2$ é muito menor que $N^2$ e $S_\ell^2$ e é dada por:

$${ \sigma_g^2\approx {k_t^2\over k_r^2+k_t^2}\,N^2\quad (\sigma^2\ll N^2,S_\ell^2) }$$ (39)

Esses são modos gravitacionais ou "modos-g" e flutuação no campo gravitacional é a força restauradora. Note que se $N^2$ é negativo, indicando a existência de convecção, então $\sigma_g$ é puramente imaginário e a perturbação cresce ou decai exponencialmente com o tempo. Estes modos são chamados de modos-$\rm g^-$. Estamos somente interessados no caso em que $N^2>0$, que são os modos-$\rm g^+$. Sumarizando, os modos-p constituem-se nos modos de alta frequência do espectro de oscilações não radiais, e nesse caso $P'/P$ é maior do que $\chi_r/\lambda_P$, enquanto os modos-g são os modos de baixa frequência, e nesse caso $P'/P$ é menor do que $\chi_r/\lambda_P$.

Se cada modo é ortogonal em relação aos outros, então as autofunções correspondentes a cada autovalor $\sigma^2$ têm que diferir das outras em aspectos importantes. Seguindo nossa análise local como uma aproximação, $k_r$ e $\ell$ devem medir esta diferença. Como $k_r$ é um número de onda, o comprimento de onda correspondente é $\lambda_r=2\pi/k_r$. O número total de nodos na direção radial (que chamamos de $n$) na autofunção é dado por $n\approx 2\int_0^Rdr/\lambda_r$ onde o "2" conta os dois nodos por comprimento de onda. Logo $n\approx\int_0^Rk_r\,dr/\pi$. Se integramos a equação (38) de modo que a integral de $k_r$ aparece sozinha e então assumimos que $\ell$ é pequeno de modo que $k_t^2$ pode ser desprezado (por simplicidade), obtemos a estimativa

$$\sigma_p\approx n\pi[\int_0^R{dr\over v_s}]^{-1}$$ (40)

Desta maneira, para valores grandes de $n$, as frequências dos modos-p são igualmente espaçadas em n. Note que o espaçamento das frequências depende somente da variação da velocidade do som que, para um gás ideal, depende principalmente da temperatura. Em estrelas como o Sol, os modos-p efetivamente amostram a estrutura de temperatura.

A estimativa correspondente para os períodos dos modos-g é

$${ \Pi_g={2\pi\over\sigma_g}\approx n\,{2\pi^2\over[\ell(\ell+1) ]^{1/2}}[\int_0^R{N\over r}\,dr]^{-1} }$$ (41)

Aqui o período é igualmente espaçado em $n$, o que é muito útil para a análise das anãs brancas pulsantes, e é muito sensível ao valor de $\ell$. Ainda, o período aumenta com $n$, em contraste com os modos-p.

Os mesmos limites em $\sigma^2$ em relação a $N^2$ e $S_\ell^2$ também produzem as seguintes estimativas grosseiras para a razão das autofunções radiais para tangenciais:

$\vert{\xi_r\over\xi_t}\vert\sim\begin{cases}rk_r&{modos-p}\\ \ell(\ell+1)/rk_r&{modos-g}\end{cases}$

Para números de ondas radiais grandes ($rk_r\gg 1$) o movimento do fluido para os modos-p são principalmente radiais, enquanto que para os modos-g são principalmente transversais.

Aproximação Não Adiabática

Se retirarmos a aproximação adiabática, precisamos levar em conta que calor pode ser trocado entre os elementos em movimento por pulsação. O ponto de partida é a equação de equilíbrio térmico:

$${\frac{\partial L_r}{\partial r}=4\pi r^2\rho[\varepsi... ...}}\frac{\partial }{\partial t}(\frac{P}{\rho^{\frac{5}{3}}})]}$$ (1.1)

que derivamos na seção de Equilíbrio Térmico e onde $\varepsilon$ é a taxa de geração de energia termonuclear.

Para as variáveis clássicas, como as Cefeidas e RR Lyrae, o que causa a pulsação radial é a existência de zonas de ionização parcial do hidrogênio e do hélio. Uma zona de ionização parcial é muito opaca; os fótons são absorvidos causando a ionização do gás. Quando um gás se ioniza, o número de partículas aumenta, pois os elétrons tornam-se livres. Um aumento no número de partículas causa um aumento na pressão, que faz a camada se expandir. Mas ao se expandir, a camada se esfria e portanto as partículas têm velocidade e energia menores e podem se ligar novamente, formando átomos nêutros. Quando o gás se desioniza, diminui a número de partículas, a pressão diminui e a camada contrai. Ao se contrair, aumentando a densidade, a camada fica opaca e o processo recomeça, oscilando entre o estado expandido e contraído.

Usando a equação de continuidade de massa e o fato de termos usado $\Gamma_3-1=5/3$ na derivação dessa equação, pois assumimos lei dos gáses ideais, o que não é o caso de zonas de ionização parcial, podemos escrever

$$\frac{\partial L_r}{\partial M_r} = \varepsilon - \frac{P}{\rho\l... ...rtial \ln P}{\partial t} - \Gamma_1\frac{\partial \ln \rho} {\partial t}]$$ (1.2)

Podemos substituir o multiplicador do termo da esquerda

$\frac{P}{\rho(\Gamma_3-1)}=\frac{c_V T}{\chi_T}$

de modo que a equação de energia torna-se

$$\frac{\partial \ln P}{\partial t} = \Gamma_1\frac{\partial \ln \r... ...rac{\chi_T}{c_V T} [\varepsilon - \frac{\partial L_r}{\partial M_r}]$$ (1.3)

Note que o caso adiabático é recuperado se o último termo for sempre nulo. Utilizamos agora a igualdade

$\frac{\Gamma_1}{\chi_T}=1+\frac{\chi_T}{\chi_\rho} (\Gamma_3-1)$

e as definições de $\chi_T$ e $\chi_\rho$ para chegar em

$$\frac{\partial \ln T}{\partial t} = (\Gamma_3-1) \frac... ...} + \frac{1}{c_V T}[\varepsilon - \frac{\partial L_r}{\partial M_r}]$$ (1.4)

que podemos linearizar colocando

$T \longrightarrow T_0 + \delta T$

$\rho \longrightarrow \rho_0 + \delta \rho$

$\varepsilon \longrightarrow \varepsilon_0 + \delta \varepsilon$

$L_r \longrightarrow L_{r,0} + \delta L_r$

onde, como usual, o subscrito zero refere-se ao estado de equilíbrio. Não precisamos incluir as variações de $c_v$ e $\Gamma_3$ porque elas não aparecem na expressão final. Se usarmos o equilíbrio térmico e balanço de energia

$\varepsilon_0=\frac{\partial L_{r,0}}{\partial M_r}$

e derivadas parciais de $T_0$ e $\rho_0$ em relação ao tempo nulas, e deixarmos de explicitar o subscrito zero, obtemos:

$$\frac{\partial(\delta T/T)}{\partial t} = (\Gamma... ...v T}[\delta \varepsilon - \frac{\partial \delta L_r} {\partial M_r}]$$ (1.5)

Finalmente, se assumimos que as perturbações variam com o tempo da forma $e^{iwt}$, obtemos a forma final da equação de energia linearizada

$${\delta \varepsilon - \frac{\partial \delta L_r} {\partial ... ...ft[\frac{\delta T}{T} - (\Gamma_3-1)\frac{\delta \rho}{\rho}]}$$ (1.6)

onde os deltas se referem somente à variação espacial das perturbações. Note que esta equação contem a unidade imaginária $i=\sqrt{-1}$ e, portanto, o problema não abiabático resulta em autofunções complexas. As soluções portanto automaticamente contém propriedades que crescem exponencialmente (instáveis) ou decaem (estáveis). Uma estrela variável intrínseca é aquela em que os efeitos não adiabáticos levem ao crescimento das perturbações, tornando-a instável.

Quando uma camada da estrela ganha energia quando comprimida, ela pode causar (drive) a pulsação. Todas as outras camadas normalmente perdem energia quando comprimidas e portanto amortecem a pulsação. A pulsação ocorre se a energia da camada que ganha energia suplanta a energia perdida em todas as outras camadas. Esta camada age como um motor a calor, transformando energia térmica em mecânica.

Se a opacidade aumenta quando a temperatura aumenta, como ocorre em uma região de ionização parcial, a energia se acumula nesta camada, e o elemento de massa se aquece em relação à sua vizinhança, tornando-se instável à pulsação. Este mecanismo de instabilidade chama-se mecanismo $\kappa$, já que representamos a opacidade por $\kappa$.

O mecanismo $\gamma$ de instabilidade ocorre quando a variação importante é no $\Gamma_3$, como ocorre no caso da segunda ionização do hélio, quando o segundo elétron do hélio está sendo removido ou recombinando, para temperaturas próximas de 40 000 K, ou na ionização do hidrogênio próximo de 12 000 K. Neste caso, a energia da compressão é absorvida parcialmente na ionização e a temperatura não aumenta tanto quanto no caso em que a ionização não ocorre. Desta forma a região de ionização tende a ser um pouco mais fria que a vizinhança quando comprimida e o calor flui para a região de ionização. Na maioria dos casos os mecanismos $\kappa$ e $\gamma$ aparecem em conjunto.

No caso do Sol e variáveis tipo solares, o mecanismo de excitação chama-se estocástico, pois há suficiente energia acústica nas camadas de convecção externas para excitar modos normais, e parte do ruído estocástico é transferido para oscilações globais.

Quais modos são selecionados para ter alta amplitude depende da localização da zona de excitação, pois não é possível colocar energia em modos com nodos naquela região. Outro fator importante é que os modos com períodos próximos da escala de tempo térmica daquela região são mais fáceis de excitar.

Heliosismologia

O Sol é variável com amplitudes de uma parte em um milhão. Em 1962, Robert Benjamin Leighton (1919-1997), Robert W. Noyes e George W. Simon (1962, Astrophysical Journal, 135, 474) detectaram os deslocamentos Doppler induzidos nas linhas de absorção do Sol, com período de 5 minutos. Estes deslocamentos são interpretados como oscilações verticais de grandes regiões do fluido com velocidades de 1 km/s e tempo de coerência da ordem de 5 minutos. Somente em 1970, Roger K. Ulrich (1970, Astrophysical Journal, 162, 993) e independentemente John William Leibacher & Robert F. Stein (1972, Astrophysical Journal Letters, 7, 191), sugeriram que estes deslocamentos eram oscilações globais do Sol.

Em 1975 Franz L. Deubner (Astronomy & Astrophysics, 44, 371) conseguiu resolver as oscilações solares em modos discretos, que comparados com os modelos teóricos calculados por Hiroyasu Ando e Yoji Osaki (1975, Publications of the Astronomical Society of Japan, 27, 581), mostraram que as oscilações solares com períodos da ordem de 5 minutos eram oscilações não-radiais modo-p com $\ell$ entre 200 e 1000. Posteriormente, observações de disco inteiro do Sol mostraram modos-p com $\ell$ entre 1 e 200.

Para o Sol, os modos-p são superficiais enquanto que os modos-g são internos. Milhares de modos-p do Sol já foram observados, mas nenhum modo-g.

Filme de 40 dias seguidos de observações do Sol com a rede de telescópios do projeto GONG.

Um modo-p com n=1 e $\ell$ = 2, com período de 2500 s, propagando-se para dentro do Sol, torna-se evanescente quando atinge r $\simeq$ 0, 44 R_$\odot$, onde $\sigma^2 \simeq S_\ell^2$.

Cada cor representa um modo de pulsação. A onda sonora se propaga a partir da superfície em direção ao centro do Sol mas vai se desviando pelo aumento da velocidade do som no interior. A onda atinge o ponto de retorno quando sua frequência se aproxima da frequência de Lamb e retorna à superfície, onde é refletida novamente em direção ao centro. As ondas de pressão têm amplitude diferente de zero na camada convectiva, mas parte da energia é refletida pela base da camada convectiva. Para as estrelas de maior massa, que têm núcleo convectivo, as ondas de pressão são concentradas fora do centro convectivo.

Pulsações das Anãs Brancas

Em 1968, Arlo U. Landolt (1934-) que estuda estrelas padrões fotométricas, utilizando o telescópio de 2,1 m do Kitt Peak, descobriu acidentalmente que a estrela HL Tau 76, uma anã branca, apresentava variações de brilho com um período de 12 minutos e uma amplitude de 0,1 magnitudes (1968, Astrophysical Journal, 153, 151). Esta foi a primeira anã branca variável descoberta e pertence a classe das DAV ou ZZ Cetis, com mais de 158 variáveis conhecidas em 2011.

Curva de luz da G117-B15A obtida com o telescópio de 2,6m do Canadá, França e Hawaii.
Diagrama HR do esfriamento de uma anã branca

Os períodos dos modos gravitacionais dependem da variação dentro da estrela da frequência de Brunt-Väisälä, $N^2$. Não é possível estimar seu valor facilmente, mas existem características específicas nas estrelas anãs brancas. Por examplo, essa frequência é muito pequena no interior onde os elétrons estão degenerados, e $N$ é nula para um gás completamente degenerado. Esse não é normalmente o caso no envelope e as frequências típicas no envelope são de várias dezenas de s^-1.

Variação da frequência de Brunt-Väisälä no interior de uma branca DB com T_ef=25000 K. No eixo x está representada o logarítmo da razão da distância ao centro pela pressão local (p).

Ao contrário, o valor da frequência de Lamb $S_\ell$ é grande no interior mas torna-se muito pequeno no envelope.

Das condições de propagação de onda, os modos-g se propagam no envelope das anãs brancas, enquanto que os modos-p, com períodos de poucos segundos e ainda não observados em anãs brancas, se propagam no interior. Este comportamento é oposto daquele para o Sol. Desta maneira, nas anãs brancas, os modos-g oscilam na superfície mas são excluídos do núcleo face ao baixo valor de $N^2$ no interior. Os cálculos detalhados produzem valores de períodos de cerca de 100 s a 1500 s, consistentes com os valores observados para as anãs brancas pulsantes, que têm períodos entre 70 e 1500 s.

Os modos de pulsação com ordens radiais baixas têm amplitude significativa em todo o interior da estrela, enquanto modos com ordens radiais altas são formados mais para fora da estrela.

A causa da instabilidade foi determinada como a mesma que excita as variáveis clássicas: está associada com as zonas de ionização parcial do hidrogênio e do hélio e, possivelmente, de carbono e oxigênio para os objetos mais quentes [Wojciech Dziembowski & Detlev Koester (1981, Astronomy & Astrophysics, 97, 16), Noel Dolez & Gerard Vauclair (1981, Astronomy & Astrophysics, 102, 375), Sumner Starrfield, Arthur N. Cox, S. Hodson, & Willian D. Pesnell (1982, Conference on Pulsations in Classical and Cataclysmic Variable Stars, Boulder CO, p. 78), Donald Earl Winget, Hugh van Horn, Monique Tassoul, Gilles Fontaine (1948-2019), Carl J. Hansen (1933-2011) & Bradley W. Carroll (1982, Astrophysical Journal, 252, L65)]. O maior sucesso desta análise de excitaçãos dos modos gravitacionais em anãs brancas foi a previsão seguida da descoberta das variáveis DBs por Donald Earl Winget (Donald Earl Winget, Edward L. Robinson, R. Edward Nather (1926-2014) & Gilles Fontaine (1948-2019), 1982, Astrophysical Journal, 262, L11). Este foi o primeiro caso da existência de uma classe de variáveis que foi predita antes de sua descoberta.

Os cálculos não adiabáticos que testam a estabilidade dos modos-g são muito exitosos para as estrelas DAV e DBV, já que os cálculos ajustam razoavelmente bem com as posições observacionais da faixa de instabilidade, com uma escolha apropriada da eficiência convectiva [Paul Andrew Bradley & Donald Earl Winget 1994b; Gilles Fontaine (1948-2019), Pierre Brassard & François Wesemael (1954-2011) 1994]. Embora entendamos a causa básica da instabilidade pulsacional como resultado da zona de ionização parcial modulando o tamanho da zona de convecção durante um ciclo de pulsação, precisamos ainda de muito mais trabalho para entender os detalhes, já que a maioria dos cálculos não leva em conta a interação das pulsações com a convecção.

Nas anãs brancas, somente detectamos pulsações com $\ell \leq 2$, e as variações de raio são da ordem de somente 1 metro, enquanto que as variações de temperatura, dominantes, são da ordem de 500 K (Kepler de Souza Oliveira Filho, 1984, Astrophysical Journal, 286, 314-327).

Se representarmos por $\Omega$ a frequência de rotação de uma estrela, e assumirmos que ela é muito menor do que a frequência de pulsação, podemos representar a frequência de pulsação de uma oscilação de modo-g com índices n,$\ell$ e m como:

onde $C_n$ é uma constante que depende do valor da autofunção no interior da estrela, mas é próxima de 1.

A rotação faz com que a frequência de pulsação no sentido da rotação (progrado) seja um pouco menor que o modo com m=0, que não é afetado pela rotação, enquanto o modo retrógrado tem uma frequência um pouco maior. No caso do Sol, que podemos medir suas pulsações vindas até um pouco abaixo do meio-raio, podemos medir que a rotação abaixo da zona de convecção (iniciando em 0,7 R_Sol) é praticamente rígida, com perído de aproximadamente 27 dias, como a que ocorre na fotosfera para latitudes de aproximadamente 35° (Michael J. Thompson, Jørgen Christensen-Dalsgaard, Mark S. Miesch & Juri Toomre. 2003, Annual Review of Astronomy & Astrophysics, 41, 599).

No site http://www.whitedwarf.org/, organizado por Travis Scott Metcalfe (1973-), é possível calcular em tempo real os períodos de pulsação dos modelos de anãs brancas DBVs.

Efeitos não lineares

Observações do satélite Kepler de suas estrelas RR Lyrae. A da direita, a própria RR Lyrae, apresenta o efeito Blazhko, de mudança de período. No artigo Ensemble asteroseismology of solar-type stars with the NASA Kepler mission, William J. Chaplin et al. 2011, Science, 332, 213, reportam o estudo de 500 estrelas cujas pulsações foram observadas com o satélite Kepler.

Pitágoras de Samos (c.572-497~a.C.) denominou de harmônicas as oscilações cujos comprimentos de ondas sejam razões entre números inteiros. Desta forma, o primeiro harmônico de uma oscilação de frequência f tem frequência 2f. Vincenzo Galilei (c.1520-1591), pai de Galileo Galilei, escreveu em seu livro sobre teoria musical Dialogo della musica antica et della moderna, que as notas devem ser harmônicas para que o tímpano não tenha que se flexionar em duas formas diferentes, incomensuráveis. A superfície da estrela também faz com os modos harmônicos, isto é, comensuráveis, tenham maior amplitude. Vários processos podem gerar harmônicos e combinações lineares no espectro de Fourier de uma estrela variável:

• A resposta não linear do fluxo emergente a uma variação de temperatura, já que $L=4\pi R^2 \sigma T_{ef}^4$.
• A resposta não linear da zona de convecção a uma perturbação oscilatória que a atravessa.
• Ressonância entre modos de pulsação.
• Excitação não linear dos modos.

Os dois primeiros processos são normalmente chamados de "distorções da forma do pulso" e se originam na resposta não linear do meio estelar às pulsações.

J. Robert Buchler (1942-), Marie-Jo Goupil e Carl J. Hansen (1997, Astronomy & Astrophysics, 321, 159) derivaram as equações de amplitude relacionando as interações entre as pulsações multiperiódicas não radiais, mas ressaltam que o problema é sempre em relacionar os coeficientes com o problema hidrodinâmico e de transferência de calor que nos interessa. Em primeira ordem, uma pulsação real pode ser representada como uma soma de modos normais, com amplitudes dependentes do tempo. Estas amplitudes, que assumimos variam lentamente com o tempo em comparação com as pulsações, obedecem a equações de amplitude não lineares. Embora a soma seja teoricamente infinita, assumimos que a dinâmica essencial do problema possa ser tratada somente com os primeiros termos das séries. As amplitudes e fases podem então ser relacionadas diretamente com aquelas obtidas pela análise de Fourier das observações.

No caso de duas pulsações radiais:

$\delta R(t) = \frac{a_1(t)}{2} \exp[i\phi_1(t)] +\frac{a_2(t)}{2} \exp[i\phi_2(t)]$

as equações de amplitude são:

$\frac{da_1}{dt}=k_0a_1 + \Re{\{q_0 a_1^3\}} + \Re{\{T_0 a_1a_2^2\}}$

$\frac{da_2}{dt}=k_1a_2 + \Re{\{q_1 a_2^3\}} + \Re{\{T_1 a_1^2 a_2\}}$

$\frac{d\phi_1}{dt}=w_1 + \Im{\{q_0 a_1^2\}} + \Im{\{T_0 a_2^2\}}$

$\frac{d\phi_2}{dt}=w_2 + \Im{\{q_1 a_2^2\}} + \Im{\{T_1 a_1^2\}}$

onde as fases $\phi(t)$ contêm uma parte rapidamente oscilante $wt$ e uma parte que varia lentamente com o tempo. Temos portanto um conjunto acoplado de equações diferenciais de primeira ordem mas não linear, que governam o comportamento temporal das amplitudes e das fases.

Os coeficientes de acoplamentos dependem da integral das autofunções dos modos sobre o interior da estrela. Os coeficientes serão grandes se as regiões de alta amplitude das autofunções no interior da estrela forem similares.

No caso de pulsações não-radiais, o espectro de frequências é muito mais denso, isto é, existe um número maior de frequências possíveis e, portanto, maior possibilidade de ressonâncias. Entretanto, restrições de paridade e de momentum angular podem ser usadas para eliminar vários dos possíveis acoplamentos entre os modos. Ressonâncias podem causar chaveamento de frequências, isto é, modos normais que têm frequências aproximadamente ressonantes podem ser deslocados de modo que as frequências observadas são exatamente ressonantes, acompanhados de amplitudes constantes. Estas ressonâncias podem causar o desvio do equi-espaçamento em períodos dos modos gravitacionais assintóticos (alto valor da ordem radial n). Acoplamentos ressonantes podem, portanto, ser determinantes nas amplitudes observadas, assim como nos espaçamentos entre os modos observados.

A presença de frequências que são combinações lineares das frequências normais também decorre de correções de mais alta ordem. Nos dados de 2000 do Whole Earth Telescope da DBV pulsante GD358 (Kepler de Souza Oliveira Filho, R. Edward Nather (1926-2014), Don Earl Winget, Atsuko Nitta, Scot J. Kleinman, Travis Metcalfe, Kazuhiro Sekiguchi, Jiang Xiaojun, Denis Sullivan, Tiri Sullivan, Rimvydas Janulis, Edmund Meistas, Romualdas Kalytis, Jurek Krzesinski, Waldemar Ogloza, Staszek Zola, Darragh Evelyn Anthony Adam O'Donoghue (1957-2015), Encarni Romero-Colmenero, Peter Martinez, Stefan Dreizler, Jochen Deetjen, Thorsten Nagel, Sonja L. Schuh, Gerard Vauclair, Fu Jian Ning, Michel Chevreton, Jan-Erik Solheim, Jose Miguel Gonzalez Perez, Frank Johannessen, Antonio Kanaan, José Eduardo Costa, Alex Fabiano Murillo Costa, Matt A. Wood, Nicole Silvestri, T.J. Ahrens, Aaron Kyle Jones, Ansley E. Collins, Martha Boyer, J. S. Shaw, Anjum Mukadam, Eric W. Klumpe, Jesse Larrison, Steven Daniel Kawaler, Reed Riddle, Ana Ulla & Paul Andrew Bradley. 2003, "The Everchanging Pulsating White Dwarf GD358", Astronomy & Astrophysics, 401, 639) encontramos termos de combinação linear de até quinta e sexta ordem.

A variação temporal das amplitudes e fases resultantes pode ser periódica, multi-periódica ou caótica. Além das variações de amplitude e fase por acoplamento, os modos de pulsação sofrem alterações por mudanças evolucionárias nas estrelas, como evolução nuclear ou perda de energia térmica pela superfície. Estas mudanças entretanto ocorrem em escalas de tempo seculares.

A maior parte das estrelas variáveis multi-periódicas observadas apresenta variações de amplitude em longas escalas de tempo. Por exemplo, as transformadas de Fourier das observações com o WET em anos distintos da DBV GD358 têm amplitudes diferentes, apesar da maioria das periodicidades principais estarem presentes em todos os anos. Entretanto, os dados de agosto de 1996 mostram somente uma periodicida dominante, em vez das 180 periodicidades normalmente detectadas.

A energia (proporcional à amplitude ao quadrado) desta periodicidade entretanto é similar à soma das energias de todas as pulsações detectadas nos outros anos, sendo compatível portanto com a transferência de toda a energia de pulsação somente para aquele modo. Poucos meses depois a transformada de Fourier voltou ao estado anterior, com a presença de centenas de periodicidades.

O caso mais simples de ressonância ocorre quando duas frequências inicialmente próximas de $n\omega_1\approx m\omega_2$, com $n$ e $m$ inteiros. Existe uma solução com amplitudes e fases contantes, com as frequências deslocadas exatamente para a igualdade $n\omega_1=m\omega_2$. Desta maneira é possível que uma frequência próxima da harmônica seja trazida para o valor da harmônica e que as amplitudes resultantes sejam constantes.

Pulsações das ZZ Cetis

Modelo de interior de uma anã branca DA com núcleo de C/O. O interior contém 80% de oxigênio até 0,75 da massa da estrela e passa a carbono puro.

Diagrama das frequências de Brunt-Väisälä e Lamb para um modo com l=1, calculado para a estrutura apresentada na figura anterior, por Paul Andrew Bradley, 1996, Astrophysical Journal, 468, 350.

Função de onda (autofunção) para um modo com ordem radial n=k=1, l=1 para uma anã branca DA, para diferentes valores da massa de H e He. O modelo indicado por 60204 tem massa total de M_*=0,6 massas solares, massa de hélio de M_He=10^-2 M_* e massa de hidrogênio de M_H=10^-4 M_*.

Autofunção para os dois modos principais da DAV R548, mostrando que o modo com ordem radial k=3, que corresponde ao período de 274s, é mais externo do que o modo com k=2, que corresponde ao período de 213s.

J. Christopher Clemens, em sua tese de doutorado, encontrou que todas as DAVs na borda azul da faixa de instabilidade têm períodos de pulsação muito próximos de 220 segundos, que a amplitude, além de ser pequena aumenta com o esfriamento da estrela, $\langle A \rangle \propto T_{\mathrm{ef}}^{-1}$, e ainda que quanto menor o período de pulsação $P$, menor a temperatura da estrela, $P \propto T_{\mathrm{ef}}^{-1}$. Desta maneira é possível ordenar as estrelas por períodos e amplitudes.

Anjum S. Mukadam, Michael H. Montgomery, Donald Earl Winget, Kepler de Souza Oliveira Filho e J. Christopher Clemens, publicaram a amplitude ponderada no artigo "Ensemble Characteristics of the ZZ Ceti Stars", em 2006 no Astrophysical Journal, 640, 956.

Podemos concluir que com o esfriamento da estrela, ao chegar à borda azul da faixa de instabilidade, a escala de tempo térmica

$\tau_{\mathrm{term}} \simeq \frac{c_V T \delta M}{L}$

está se aproximando da escala de tempo dos modos-g, o primerio bloco de períodos, com $P\simeq 220$ s, deve ser o modo $k=1, \ell=1$, que não é "ressonante" (trapped), já que o primeiro modo "ressonante" nos modelos teóricos está próximo de $k=3$, mas na borda azul este modo ainda não está excitado, pois sua escala de tempo é maior do que escala de tempo térmica.

Como a amplitude do primeiro bloco de períodos é aproximadamente igual à amplitude do segundo bloco de períodos, embora a energia cinética para o modo $k=1, \ell=1$ seja muito alta, o mecanismo de limitação de amplitudes deve estar levando à saturação de energia, isto é, a energia no modo é toda energia que está disponível, e não um mecanismo de limitação, como campos magnéticos ou velocidades maiores do que a velocidade do som.

Como os modos "ressonantes" têm a mesma energia do modo não ressonante $k=1, \ell=1$, então não é relevante que é mais fácil excitar um modo ressonante, já que não existe energia disponível para excitá-los a amplitudes mais altas.

Da tese de doutorado de Donald Earl Winget, de 1981, os primeiros modos excitados na borda azul estão próximos de 80 a 110 s, com $k=1, \ell=3$. Somente quando a estrela se esfria por mais $\Delta T_{ef} \approx 200$ K, aproximadamente, é que o modo $k=1, \ell=1$ é excitado.

Portanto, para as estrelas mais quentes, o período excitado deveria ser próximo de 100 s, como em G226-29, e nenhum outro deveria estar excitado. Tendo em vista que leva cerca de $10^7$ anos para a estrela esfriar $\Delta T_{ef} \approx 200$ K, e a escala de crescimento das pulsações é de semanas ou meses, a estrela não deveria ter o modo $k=1, \ell=1$ excitado.

Um modo com $\ell=3$ tem um cancelamento geométrico muito maior, de acordo com os cálculos de Wojciech Dziembowski (1977, Acta Astronomica, 27, 203) e Edward Lewis Robinson (1945-), Kepler de Souza Oliveira Filho (1956-) e R. Edward Nather (1926-) publicados em 1982 no Astrophysical Journal, 259, 219. O fator de diluição geométrica é da ordem de 0,26 para $\ell=2$, 0,04 para $\ell=3$ e 0,02 para $\ell=4$, pois vemos o disco integrado e as várias regiões quentes e frias na superfície da estrela se cancelam.

Embora a estrela G226-29 tenha amplitude muito pequena, 6 mma, a análise das pulsações com o Hubble Space Telescope por Kepler de Souza Oliveira Filho, Edward L. Robinson, Detlev Koester, J. Christopher Clemens, R. Edward Nather e Xian Jian Jiang (2000, "Mode Identification of Pulsating White Dwarfs using the HST", Astrophysical Journal, 539, 379-391) em que compararam a amplitude no ótico com a amplitude de pulsação no ultravioleta, demonstrou que a pulsação com período de 109 s é na verdade um modo com $\ell=1$.

A estrela G185-32 é ainda mais problemática, já que os dados do Telescópio Espacial Hubble indicam que a periodicidade em 141 s não muda de amplitude significativamente do ultravioleta para o ótico e, portanto, não fita nenhum modelo teórico (Bárbara Garcia Castanheira, Kepler de Souza Oliveira Filho, Pawel Moskalik, Scot J. Kleinman, A. E. Sansom, Jan-Erik Solheim, J. A. Belmonte, Steven Daniel Kawaler, Antonio Kanaan, Don Earl Winget, R. Edward Nather, Todd K. Watson, J. Christopher Clemens, Judith Provencal, Albert D. Grauer, Paul Andrew Bradley, Matt A. Wood, N. Achilleos, Gerard Vauclair, Benoite Pfeiffer, Michael Chevreton, Noel Dolez, B. Serre, J. S. Yang, Fu Jian Ning, T. M. K. Marar, B. N. Ashoka, Edmund Meistas, A. V. Chernyshev, Tsevi Mazeh, Elia Leibowitz, Jerzy Krzesinski, Gabriel Pajdosz, Staszek Zola & José Eduardo da Silveira Costa. 2004, "Observations of the Pulsating White Dwarf G 185-32", Astronomy & Astrophysics, 413, 623). Entretanto Jörg Ising e Detlev Koester (2001, Astronomy & Astrophysics, 374, 116) sugerem que efeitos não lineares na atmosfera transformam os modos normais descritos por harmônicos esféricos na base da zona de ionização parcial em modulações complexas, não descritas por harmônicos esféricos, na superfície, mas somente para amplitudes maiores que 5%, o que não é o caso.

Peter Goldreich, Yanqin Wu & Marten van Kerkwijk

Yanqin Wu e Peter Goldreich (1999, Astrophysical Journal, 519, 783) e Yanqin Wu (2001, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 323, 248) levam em conta a interação entre a pulsação e a convecção e propõem que as não linearidades causam a presença de harmônicos e combinações lineares na transformada de Fourier, mas que as amplitudes dos harmônicos são sempre menores do que as amplitudes dos picos combinações lineares, se as componentes têm a mesma amplitude.

$a_i = \frac{ A_i}{\sqrt{1+(\omega_i \tau_{co})^2}}$

$a_{2i} = \frac{a_i^2}{4} \frac{\vert 2\beta + \gamma\vert (2\omega_i \tau_{co})}{\sqrt{1+(\omega_i \tau_{co})^2}}$

$a_{i+j} = \frac{n_{ij}}{2} \frac{a_i a_j}{2} \frac{ \vert 2\beta... ...a_i\pm \omega_j)\tau_{co}} {\sqrt {1+ [(\omega_i \pm \omega_j)\tau_{co}]^2 }}$

$\phi_i = \Psi_i - \arctan (\omega_i\tau_{co})$

$\phi_{2i} = 2\Psi_i + \arctan(\frac{1}{2\omega_i\tau_{co}})$

$\phi_{i+j} = (\Psi_i\pm \Psi_j) + \arctan[\frac{1}{(\omega_i\pm \omega_j) \tau_{co}}]$

com $A_i$ - amplitude de uma sinusoidal, $\tau_{co}$ - constante térmica da zona convectiva e $\vert 2\beta+\gamma\vert$ - taxa de aprofundamento da zona convectiva com o esfriamento da estrela.

Antony J. Brickhill (1992, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 259, 529) estuda a interação entre as pulsações e a convecção, levando em conta que a escala de tempo de convecção é da ordem de 1 s e, portanto, a convecção se ajusta instantaneamente à pulsação. Ele calcula que a variação de temperatura na superfície é não sinusoidal e, portanto, a variação de luminosidade também não é. Ele também deduz que a viscosidade turbulenta reduz a pulsação porque não permite grandes movimentos horizontais.

Pierre Brassard, Gilles Fontaine (1948-2019) e Francois Wesemael (1954-2011) (1995, Astrophysical Journal Supplement Series, 96, 545) calculam o fluxo emergente a partir de uma variação de temperaturas sinusoidal na base da zona de ionização parcial. Os efeitos não lineares aparecem somente devido ao transporte radiativo de energia. Eles calculam que o efeito de cancelamento geométrico (soma de zonas quentes e zonas frias sobre o disco visível) é de 0,43 para $\ell=2$, 0,0639 para $\ell=3$ e 0,0395 para $\ell=4$ em luz branca.

A concentração de estrelas no primeiro bloco de períodos, próximo da borda azul (quente) da faixa de instabilidade, descoberta por J. Christopher Clemens e confirmada por Antonio Kanaan e Anjum Mukadam, também indica que as estrelas devem ter a mesma massa, ou os períodos teriam que ser diferentes. A massa da camada de hidrogênio também deve ser similar, mas os períodos não são muito dependentes desta massa. Todos os modos neste bloco de 220 s deveriam ser modos com $k=1, \ell=1$. Um projeto que precisa ser executado é procurar por modos com $\ell=3$ e, portanto, de baixa amplitude, na borda azul da faixa de instabilidade. Antonio Kanaan, na sua tese de doutorado em 1996, demonstrou que não existem estrelas com baixa amplitude mais frias que a borda vermelha da faixa de instabilidade. Na verdade a amplitude dos modos cai pelo menos por um fator de 40, já que o limite de detecção alcançado por ele foi de 5 mma, e as estrelas variáveis na borda vermelha têm em média uma amplitude 40 vezes maior (Antonio Kanaan, Kepler de Souza Oliveira Filho e Don Earl Winget, 2002, "The ZZ Ceti red edge", Astronomy & Astrophysics, 389, 896).

Quando a estrela esfria e o modo com $k=1, \ell=1$ é excitado, o modo com menor período desaparece? Tanto L19-2 quanto G117-B15A têm modos excitados tanto próximos de 100 s quanto próximos de 220 s, de modo que aparentemente os modos com menor período permanecem excitados. Entretanto, os modos de curto período podem ser somente devido a ressonâncias do modo principal, já que em G117-B15A, G185-32, GD385,... os modos de período curto são harmônicos. Mas o modo de período mais curto em G185-32, de 70s, não é um harmônico.

Como a zona de ionização parcial é a causa da pulsação (driving zone), as amplitudes devem crescer na escala de tempo evolucionária, já que, nesta escala de tempo, a zona de ionização parcial está se deslocando para dentro da estrela.

Como a energia térmica na zona de convecção cresce exponencialmente quando a zona de ionização parcial vai se aprofundando, a energia disponível para pulsação cresce exponencialmente.

Ressonância entre modos não pode ser o efeito principal nas pulsações das anãs brancas porque, para os modos-g, o número de modos possíveis decresce com o aumento da frequência (modos igualmente espaçados em período). Nos dados de 1994 de GD358, 62 combinações lineares foram identificadas por Francois Vuille et al. (2000, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 313, 185) que mostrou também que a maior parte das periodicidades com combinações lineares tem a mesma fase que os modos normais geradores. Estas fases são compatíveis com distorções de forma e estão em concordância com os modelos de Yanqin Wi & Peter Goldreich e de Antony J. Brickhill para a resposta não linear da zona de convecção.

Marten Henric van Kerkwijk (1966-), J. Christopher Clemens & Yanqin Wu (2000, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 314, 209) demonstraram que para a DAV G29-38, as combinações lineares não apresentam velocidades horizontais, enquanto os modos normais apresentam. Isto indica que os modos normais e as combinações lineares não têm a mesma origem física e, portanto, excitação não linear não é a causa das periodicidades em combinações lineares, pelo menos para esta ZZ Ceti.

Quando a amplitude de pulsação cresce até atingir proporções não lineares, um modo normal deixa de ser descrito como um esférico harmônico. A descrição matemática das pulsações necessita de termos em combinações lineares de outros esféricos harmônicos, de modo que os termos em combinações lineares não são, neste caso, modos de pulsação independentes. Mas Kepler de Souza Oliveira Filho, em seu artigo de 1984, "The ZZ Ceti Star GD 385 Revisited", publicado no Astrophysical Journal, 278, 754, demonstrou que o "harmônico" na estrela GD385 é de fato um modo independente.

Quando levamos em conta os efeitos não adiabáticos, escrevermos a frequência de uma pulsação como

$\sigma_i = \omega_i + i\gamma_i$

e estamos representando $\omega_i$ como a parte que oscila com o tempo e $\gamma_i$ a taxa de crescimento da pulsação, isto é, uma pequena perturbação cresce (ou decai) por um fator de $e$ em uma escala de tempo

$\tau_{crescimento}^i=\frac{1}{\gamma_i}$

A taxa de crescimento ou decaimento se adiciona à largura natural do modo de oscilação. Quando ocorre ressonância de dois ou mais modos de oscilação, pode haver chaveamento de frequências exatas ou com uma pequena diferença de frequência. Note que a maior interação entre os modos ocorre para modos com valores de ordem radial $k$ e índice angular $\ell$ similares face a sobreposição das autofunções.

Nos modelos não adiabáticos de Brickhill e de Goldreich & Wu de anãs brancas, modos com valores intermediários de $k$ e $\ell$ são os que mais são excitados, porque suas autofunções têm um gradiente espacial muito pequeno na base da zona de convecção, de modo que têm um bloqueio convectivo muito pequeno. Nestes modelos, se $\tau$ for a escala de tempo térmica da zona de excitação (driving) das pulsações, somente pulsações com períodos $P\leq 2\pi \tau$ são excitadas e, portanto, o máximo período das pulsações das anãs brancas DAVs nestes modelos é da ordem de 1000 segundos (Anthony J. Brickhill 1991, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 252, 334). Yanqin Wu & Peter Goldreich, em seu artigo de 1999 no Astrophysical Journal, 519, 783 obtém um período máximo de 1400 s, próximo do valor observacional de 1500 s, para o máximo período que a zona de convecção consegue transmitir.

Nas teorias lineares de ressonâncias, as combinações de três ou mais frequências devem ter amplitudes muito menores do que as combinações de duas frequências, porque envolvem coeficientes de mais alta ordem.

Para uma anã branca ser uma DA em 20 000 K e log g=8, somente 0,1 g cm^-2 é necessário para atingir a profundidade ótica de Rosseland 100, ou seja, uma camada de somente 3×10^-6 M_Sol de hidrogênio. Entretanto para que uma DA seja contaminada pelo He trazido à superfície em T_ef~10 000 K pela zona de convecção em expansão, a camada de hidrogênio necessitaria ser mais fina que M_H=10^-10M_*, o que não é consistente com as massas de hidrogênio determinada pelas pulsações.

Uma anã branca no disco velho ou no halo deverá acretar cerca de M_H= 10^-10 M_Sol em 4×10⁸ anos (idade para chegar a 20 000 K), para uma densidade de hidrogênio média de 0,01 cm^-3.

Kepler de Souza Oliveira Filho, José Eduardo da Silveira Costa, Bárbara Garcia Castanheira, Donald Earl Winget, Fergal Mullally, R. Edward Nather, Mukremin Kilic, Ted von Hippel, Anjum S. Mukadam & Denis J. Sullivan, no artigo "Measuring the Evolution of the Most Stable Optical Clock G 117-B15A", publicado em 2005 no Astrophysical Journal, 634, 1311, mediram a taxa de esfriamento da anã branca através da taxa de variação do período principal de pulsação com o tempo, embora o período, de 215s, só mude 1s em 8,8 milhões de anos.

Distribuição de anãs brancas por magnitude aparente no cúmulo globular M4, o mais próximo da Terra, a 7000 anos-luz de distância, obtida com exposições totalizando 8 dias com a Wide Field Planetary Camera II do Telescópio Espacial Hubble por Harvey Richer e colaboradores. A linha azul mostra a curva equivalente para o disco galático, obtida por James William Liebert, Conard Dahn e David G. Monet em 1988. A nova distribuição, publicada por Brad M.S. Hansen e colaboradores em 2002, apresenta anãs brancas ainda mais frias que no disco, resultando em uma idade entre 12 e 13 bilhões de anos para as anãs brancas e 13 a 14 bilhões de anos para o Universo.

Períodos para os primeiros sobretons dos modos com l=1 para um modelo com T_ef=12000K, publicados por Paul Andrew Bradley em 2001 no Astrophysical Journal, 552, 326, mostrando que os períodos diminuem com o aumento da massa da estrela e diminuem com o aumento da massa da camada de hidrogênio. As linhas horizontais representam períodos para as estrelas L19-2 e GD165.

Função de Planck para T=12000K.
Código de pulsação e de evolução de anãs brancas de Don Winget.

William Dean Pesnell publicou em 1985, no Astrophysical Journal, 292, 238, a demonstração que efeitos geométricos, isto é, o ângulo de inclinação do eixo de pulsação com a linha de visada causam uma variação na amplitude das subcomponentes de um tripleto (valores de m diferentes), mas simétrica em relação ao pico com m=0. O artigo de J. Robert Buchler, Marie-Jo Goupil e Thierry Serre, 1995, Astronomy & Astrophysics, 296, 405, trata da não assimetria dos tripletes e suas variações, estudando com as diferenças nas taxas de crescimento induzidas pela rotação (a favor ou contra o deslocamento) e as não-linearidades dos coeficientes de acoplamento. Se as amplitudes são constantes, os espaçamentos devem ser simétricos por chaveamento de frequências. Se existem variações nas amplitudes, elas podem ser regulares, irregulares ou caóticas.

O artigo de Marie-Jo Goupil, Michel Auvergne, & Annie Baglin, 1991, Astronomy & Astrophysics, 250, 89, trata do uso de wavelets para estudar a variação de amplitude com o tempo das pulsações das anãs brancas.

Hannah Quaintrell, Andrew J. Norton, T. D. C. Ash, Paul Roche, Bart Willems, Tim R. Bedding, Ivan K. Baldry, e Rob P. Fender publicaram no Astronomy & Astrophysics, 401, 313 (2003) uma possível detecção de oscilações não radiais induzidas por forças de maré na estrela companheira da estrela de nêutrons Vela X-1.

Modelo de pulsação radial.

Efeitos não lineares.

Determinação de temperatura da DBV mais quente PG0112+104, de acordo com P. Dufour, François Wesemael, Pierre Bergeron, Alain Beauchamp, G. Scarpa e Rex A. Saffer, 2003, "White Dwarfs", ed. Domitila de Martino et al., (Kluwer: Dordrecht), p. 165.

Faixa de instabilidade das ZZ Cetis de acordo com Pierre Bergeron e Robert Lamontagne, 2003, "White Dwarfs", ed. Domitila de Martino et al., p. 219, (Kluwer: Dordrecht). Os círculos e quadrados abertos representam as ZZ Cetis. Círculos fechados são as não variáveis e os triângulos fechados correspondem as anãs brancas descobertas por Detlev Koester et al. (2001), Astronomy & Astrophysics, 378, 556.

Em 1996, Paul Andrew Bradley (1962-) & Wojciech Dziembowski publicaram uma análise das pulsações da pré-anã branca PG1159-035 no Astrophysical Journal, 462, 376, concluindo que sua massa é de 0,6 M_Sol, sua luminosidade é de L=1,719× 10³⁶ ergs/s, seu raio de R=2,506× 10⁹ cm, e sua temperatura efetiva de T_ef=140 000 K. No artigo de 1998 publicado no Astronomy & Astrophysics, 334, 618, sobre a análise espectral das estrelas tipo PG1159-035, Stefan Dreizler (1963-) & Ulrich Heber concluem que somente quando as pré-anãs brancas atingem uma temperatura efetiva da ordem de 80 000 K elam tornam-se anãs brancas, com raios da ordem de 1,1× 10⁹ cm e com os elementos químicos mais pesados já sedimendados abaixo da fotosfera. Esta sedimentação destrói o mecanismo de excitação das pulsações pela opacidade do C/O ou Ferro [Arthur Nelson Cox (1927-2013) publicado em 2003 no Astrophysical Journal, 585, 975].

Para o Sol, as pulsações, não-radiais, resultam em uma profundidade do envelope convectivo de 0,713 ± 0,003, já que a incerteza na velocidade do som é somente 0,003. As novas determinações de abundância do Sol, reduziram C,O, N em 30%, resultando em Z/X=0,017, mas o valor antigo de 0,023 fita melhor a sismologia.

Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) em seus artigos de 1964, Dynamical instability of gaseous masses approaching the Schwarzschild limit in general relativity}, publicados no Physical Review Letters}, 12, 114 e Astrophysical Journal, 140, 417, desenvolveu a teoria de pulsações estelares na relatividade geral.

Sismologia

O geólogo e astrônomo inglês John Michell (1724-1793), professor de Cambridge, é considerado o fundador da sismologia. Ocorreram vários terremotos na Inglaterra em 1750: Londres, Porthsmouth, Ilha de Wight, Wales e Northamptonshire. Em 1755 Lisboa foi destruída por um dos maiores terremotos já registrados. Ele publicou em 1757 The History and Philosophy of Earthquakes, em que propunha que a causa eram a existência de grandes "fogos subterrâneos" que recebiam grande quantidade de água, gerando vapor e portanto força. Em 1783 o mesmo Michell propôs que a gravidade de uma estrela com a massa do Sol, mas com 1/500 do seu raio, faria a luz retornar a ela, o que hoje chamamos de buraco negro. Em 1757 o suiço Élie Bertrand (1712-c.1790) publicou Mémoires Historiques et Phisiques sur les Tremblemens de Terre. Luigi Palmieri (1807-1896), italiano, estudou a passagem das ondas em areia, determinando a velocidade de 825 pés/segundo e em granito sólido, 1665 pés/segundo, além de outros materiais e propôs o uso da palavra sismologia, estudando a velocidade das ondas.

Vincenzo Galilei também foi o primeiro a demonstrar que para dobrar a frequência é necessário quadruplicar a tensão. Em linguagem atual

onde f é a frequência e F a força.

Cancelamento Geométrico e Filtro de Modos

Forma dos Pulsos por Mike Monttgomery

Lionel Bigot e colaboradores publicaram no 2011, Astronomy & Astrophysics, 534, L3 o uso de interferometria e sismologia da estrela HD 49933 para determinar o raio R=1,42±0,04 R_Sol, massa=1,20±0,08 M_Sol, temperatura effetiva T_ef=6640±100 K, [Fe/H]=-0,38 e idade de 2,7 Ganos.

Referências

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Volta: Astronomia e Astrofisica