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Idade do Universo

Como a lei de Hubble, que relaciona a velocidade de expansão da galáxia, v, com a distância a esta, d, é dada por

assumindo que a velocidade v permaneceu constante no tempo, isto é, que não houve desaceleração, ou seja que o Universo é aberto.

Podemos também derivar a idade do Universo para o caso do Universo plano (E=0), escrevendo $v = dr/dt$ na equação da energia total:

$$\frac{1}{2}m(\frac{dr}{dt})^2 = \frac{GMm}{r} \longrightarrow \frac{dr}{dt}=\left(\frac{2GM}{r}\right)^\frac{1}{2},$$ (1.4)

ou

$r^\frac{1}{2}dr = (2GM)^\frac{1}{2}dt$

Integrando-se os dois lados, e usando r=0 para t=0, obtemos:

$$\frac{2}{3}r^\frac{3}{2} = (2GM)^\frac{1}{2}t$$ (1.5)

Como a lei de Hubble pode ser escrita como:

$\frac{dr}{dt} = H_0 r$   ${para $t=t_0$}$$,$

podemos usar a equação (4) para escrever o termo $\left(2GM\right)^\frac{1}{2}$ em função da constante de Hubble:

$\frac{dr}{dt} = H_0 r = (\frac{2GM}{r})^\frac{1}{2} \longrightarrow (2GM)^\frac{1}{2} = H_0 r^\frac{3}{2}$

que substituindo na equação (5) nos dá:

$\frac{2}{3} = H_0 t_0,$

${t_0 =\frac{2}{3}H_0^{-1}\quad {para E=0}.}$

Lembre-se que 1 Mpc corresponde a 3,26 milhões de anos-luz e que a dimensão da constante de Hubble H é simplesmente o inverso de tempo. As unidades que usamos simplesmente explicitam que quando olhamos a um Mpc, a velocidade é de recessão das galáxias é da ordem de 50 a 100 km/s.

A constante de Hubble é derivada medindo-se independentemente da velocidade, a distância às galáxias, como usando o fato de que as estrelas Cefeidas são intrinsicamente mais brilhantes quanto maior é o período de pulsação.

Calculador para a idade do Universo: Para Ho = 71 km/s/Mpc, Ω_M=0,270, Ω_vac=0,730, z=11 corresponde à idade de 462 milhões de anos, e o Universo tem agora 13,665 bilhões de anos. Este é o z compatível com as observações do WMAP para a época da formação das primeiras estrelas, isto é, da reionização do Universo.

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