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Soma de Imagens para Redução de Ruído

Podemos adicionar imagens para reduzir o ruído, se for possível manter o paciente estacionário, já que o ruído, sendo aleatório, cresce mais devagar que o sinal na soma. Suponhamos que temos um conjunto de M imagens da forma:

$$I_i(x,y) = S(x,y) + R_i(x,y),$$

onde $S(x,y)$ é o sinal de interesse, e $R_i(x,y)$ é o ruído da imagem. Cada imagem é degradada por um ruído diferente. Embora não conheçamos o ruído exatamente, assumimos que ele provenha de um conjunto randômico de valores de média zero. Portanto, se definirmos o operador ${\cal{E}}$ para representar o valor esperado, isto é, a média sobre todos os pontos $(x,y)$ do ruído, podemos escrever:

$${\cal{E}}\left[R_i(x,y)\right]=0,$$ (3.1)

$${\cal{E}}\left[R_i(x,y)+R_j(x,y)\right]={\cal{E}}\left[R_i(x,y)\right]+ {\cal{E}}\left[R_j(x,y)\right], \mbox{se i$\neq$j,}$$ (3.2)

e

$${\cal{E}}\left[R_i(x,y)\cdot R_j(x,y)\right]={\cal{E}}\left[R_i(x,y)\right] \cdot{\cal{E}}\left[R_j(x,y)\right], \mbox{se i$\neq$j.}$$ (3.3)

Se obtivermos a média de M imagens:

$$\bar{I}(x,y) = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^M \left[S(x,y) + R_i(x,y)\right],$$

o quadrado da razão sinal ruído (SNR) será:

$$\overline{\mbox{SNR}}^2 = \frac{S^2(x,y)}{{\cal{E}}\left\{\left[\frac{1}{M}\sum_{i=1}^M R_i(x,y)\right]^2\right\}}.$$

O numerador não foi alterado porque o sinal médio é igual ao sinal. Fatorando o fator $1/M$ do denominador, obtemos:

$$\overline{\mbox{SNR}}^2 = \frac{M^2 S^2(x,y)}{{\cal{E}}\left[\sum_{i=1}^M \sum_{j=1}^M R_i(x,y)\cdot R_j(x,y)\right]}.$$

Utilizando a propriedade (3.2), podemos separar o denominador em dois termos:

$$\overline{\mbox{SNR}}^2 = \frac{M^2 S^2(x,y)}{{\cal{E}}\left[\sum... ...underbrace{\sum_{i=1}^M \sum_{j=1}^M}_{i\neq j} R_i(x,y)\cdot R_j(x,y)\right]}.$$

O primeiro termo pode ser escrito como a soma dos valores esperados, e o segundo termo pode ser fatorado:

$$\overline{\mbox{SNR}}^2 = \frac{M^2 S^2(x,y)}{\sum_{i=1}^M {\cal{... ...neq j} {\cal{E}}\left[ R_i(x,y)\right]\cdot {\cal{E}}\left[ R_j(x,y)\right]}.$$

A condição (3.1) implica que o segundo termo é nulo. Além disto, como todos as medidas de ruído são vêm da mesma distribuição, elas são idênticas. Portanto:

$$\overline{\mbox{SNR}}^2 = \frac{M^2 S^2(x,y)}{M {\cal{E}}\left[R_i^2(x,y)\right]} =M\,\mbox{SNR}^2,$$

ou

$$\overline{\mbox{SNR}}=\sqrt{M}\,\mbox{SNR},$$

isto é, a razão sinal ruído aumenta com a raiz quadrada do número de imagens promediadas.

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