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Reações Não-Ressonantes

O raio de um núcleo de massa atômica $A$ pode ser representado por

$$R \simeq 1,44 \times 10^{-13}~A^{1/3}~{cm}$$ (1.69f)

Para uma reação $a+X$,

$$R = 1,44 (A_a^{1/3}+A_X^{1/3})~{fm}$$ (1.69g)

onde fm é um fentometro, também chamado de um fermi, e corresponde a 10^-13 cm.

Para que uma reação nuclear ocorra, as partículas precisam vencer a barreira Coulombiana [Charles Augustin de Coulomb (1736-1806)] repulsiva entre as partículas, dada por

$V = \frac{KZ_1Z_2 e^2}{R}=1,44 \frac{Z_1Z_2}{R(fm)}{MeV}$

onde K=1 no sistema cgs, enquanto que a energia cinética entre as partículas é determinada por uma distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann correspondente à energia térmica

Para temperaturas da ordem de dezenas a centenas de milhões de graus, a energia média das partículas interagentes são muitas ordens de magnitudes menores do que a barreira Coulombiana que as separa. As reações ocorrem pelo efeito de tunelamento quântico, proposto em 1928 pelo físico russo-americano George Antonovich Gamow (1904-1968). As partículas com maior chance de penetrar a barreira são aquelas com a máxima energia na distribuição de Maxwell-Boltzmann:

$$\phi(v)dv=\left(\frac{\mu}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} \exp \left(-\frac{\mu v^2}{2kT}\right)4\pi v^2dv,$$ (1.70)

onde $\mu$ é a massa reduzida das partículas $a$ e $X$. Entretanto, a distribuição de Maxwell-Boltzmann mostra que o número de pares de partículas com energia muito acima de $kT$ decresce rapidamente com a energia. George Gamow foi o primeiro a demonstrar que a probabilidade de duas partículas de carga $Z_1$ e $Z_2$, movendo-se com velocidade relativa $v$, penetrar sua repulsão eletrostática é proporcional ao fator

$$\propto \exp (-\frac{V}{E_{cinetica}}) \propto \exp \left(-\frac{2 Z_1 Z_2e^2}{hv})$$ (1.71)

já que

$E_{cinetica} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv\frac{p}{m}= \frac{h v}{2r}$

pelo Princípio da Incerteza $p r\simeq h$.

As seções de choque para reações nucleares serão proporcionais a esse fator, pois as reações dificilmente podem ocorrer se as partículas não penetrarem essa barreira. Esse fator de penetração pode ser obtido pelo método WKB [Gregor Wentzel (1898-1978), Hendrik Anthony Kramers (1894-1952) e Marcel Louis Brillouin (1854-1948)], válido para o caso de energia da barreira muito maior do que a energia média das partículas. O fator dentro da exponencial chama-se fator de Sommerfeld [Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld (1868-1951)].

$$\propto \exp \left(-\frac{2\pi Z_1 Z_2e^2}{\hbar v}\right)$$ (1.71a)

A interação entre duas partículas também é proporcional ao fator quantum-geométrico $\pi \lambda^2$, onde $\lambda$ é o comprimento de onda de de Broglie:

$$\pi\lambda^2 = \pi(\frac{h}{p})^2=\frac{\pi h}{2Em} \propto \frac{1}{E}$$ (1.72)

pois, para um parâmetro de aproximação (distância mínima) $s$, o momentum angular quantizado é $sp=\ell \hbar$, e a seção de choque passando de um estado $\ell$ para $(\ell+1)$ é dada por

$$\sigma_{\ell,\ell+1} = \pi (s^2_{\ell+1}-s^2_\ell) = \pi\lambda^2(2\ell+1)$$ (1.72a)

Em baixa energia, tanto (1.71) quanto (1.72) variam rapidamente com a energia. Com essas motivações, definimos a seção de choque a baixas energias como um produto de três fatores dependentes da energia:

$$\sigma(E) \equiv \frac{S(E)}{E}\exp (-\frac{2\pi Z_1 Z_2e^2}{\hbar v})$$ (1.73)

$\sigma(E)=\frac{S(E)}{E}\exp (-bE^{-\frac{1}{2}})$

onde

$b=31,28 Z_1 Z_2 A^{\frac{1}{2}}{keV^{\frac{1}{2}}}$

e $A$ é o peso atômico reduzido

$A \equiv \frac{A_1A_2}{A_1+A_2}.$

O fator $S(E)$ representa a parte nuclear da probabilidade de ocorrência da reação, enquanto os outros dois fatores representam dependências não-nucleares, bem conhecidas. O fator $S(E)$ é normalmente constante ou fracamente dependente da energia sobre uma faixa limitada de energias.

A distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann pode ser escrita em termos da distribuição de energia:

$$\psi(E)dE = \phi(v)dv = - \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{E}{kT} \exp \left(-\frac{E}{kT}\right)\frac{dE}{\left(kTE\right)^\frac{1}{2}}$$ (1.74)

e

$$<\sigma v> = (\frac{8}{\mu \pi})^\frac{1}{... ...ac{3}{2}}\int_0^\infty S(E)\exp \left(-\frac{E}{kT}-bE^{-\frac{1}{2}})dE$$ (1.75)

O fator $\exp(-E/kT)$ decresce para altas energias, enquanto que o fator $\exp\left(-bE^{-\frac{1}{2}}\right)$ decresce para baixas energias. As reações são mais efetivas para uma energia $E_0$ determinada pelo máximo do integrando:

$\frac{d}{dE}\left(\frac{E}{kT}+bE^{-\frac{1}{2}}\right)_{E=E_0} = \frac{1}{kT}-\frac{1}{2}bE_0^{-\frac{3}{2}}=0$

ou

$$E_0 = (\frac{bkT}{2})^\frac{2}{3} = 1,220 (Z_1^2Z_2^2AT_6^2){keV}$$ (1.76)

onde $T_6$ é a temperatura em milhões de graus Kelvin, e $E_0$ é chamada de energia efetiva para a reação nuclear. Pela equação (1.76), podemos calcular que a energia efetiva para a reação nuclear para partículas leves e temperaturas de algumas dezenas de milhões de graus, obtendo $E_0 \simeq 10$ a 30 keV, enquanto que a energia térmica é de $kT = 0,086T_6$ keV, refletindo o fato que a penetração da barreira Coulombiana favorece as partículas de alta energia da distribuição de Maxwell-Boltzmann.

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