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Coordenadas Gaussianas

Em um sistema de coordenadas Euclidiano, a unidade de distância não varia com a posição. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) propôs um sistema de coordenadas geral, não Euclidiano; imaginemos um sistema de coordenadas de curvas arbitrárias, não justapostas, em uma superfície qualquer. Em uma direção designemos as curvas por $u$, designando-as $u=1$, $u=2$, .... Entre as curvas $u=1$ e $u=2$ podemos imaginar um número infinito de curvas, correspondendo aos números naturais entre 1 e 2. As curvas não se intersectam e somente uma curva passa por cada ponto da superfície, de modo que um valor perfeitamente definido de $u$ pode ser estabelecido para cada ponto. Podemos estabelecer um sistema $v$ de coordenadas sobre a superfície, de modo que um valor de $u$ e $v$ possam ser estabelecidos para cada ponto da superfície. Chamamos estes pontos de coordenadas gaussianas da superfície. Dois pontos próximos terão coordenadas $P$ e $P'$, com coordenadas:

$$P: \quad u,v$$

$$P':\quad u+du, v+dv,$$

onde $du$ e $dv$ são pequenos. A distância entre estes pontos $ds$ será dada por:

$$ds^2 = g_{11}du^2 + 2 g_{12} du\,dv + g_{22} dv^2,$$

onde $g_{11}$, $g_{12}$ e $g_{22}$ dependem de $u$ e $v$, e representam a variação da unidade de distância em relação a elas. Somente para o caso especial em que a superfície seja Euclidiana e as coordenadas cartesianas, isto é, independentes, podemos escrever:

$$ds^2 = du^2 + dv^2.$$

Podemos generalizar as coordenadas de Gauss para um contínuo de três ou mais dimensões. Para um contínuo de quatro dimensões, como o espaço de Minkowski, podemos escrever que dois pontos adjacentes estão separados por uma distância:

$$ds^2 = g_{11}dx_1^2 + 2 g_{12} dx_1\,dx_2 + \cdots + g_{44} dx_4^2,$$

onde os valores de $g_{ik}$ variam com a posição.

$$ds^2 = g_{ik}dx^idx^k,$$

onde está implícita a soma sobre todos os valores de $i$ e $k$.

Por exemplo, para um sistema de coordenadas esféricas no espaço plano:

$$ds^2 = d(ct)^2 - dr^2 - r^2d\theta^2 - r^2 \mathrm{sen}^2 \theta\, d\phi^2,$$

enquanto em coordenadas cilíndricas:

$$ds^2 = d(ct)^2 - dr^2 - r^2d\phi^2 - dz^2.$$

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