Massa de Planck

A energia gravitacional é dada por:

E_G $$\simeq$$ $${\frac{GM^2}{r}}$$

desprezando-se o fator de integração, da ordem de 3/5 para distribuições esféricas. Assumindo que a massa seja constante, podemos escrever em primeira ordem:

$$\Delta$$E = $${\frac{GM^2}{\Delta r}}$$

O princípio da incerteza pode ser escrito como

$$\Delta \Delta \geq$$ (1)

Note que usamos h e não $\hbar$ porque estamos usando r e p em módulo, e não somente em uma direção. Mas

$$\Delta$$E = c$$\Delta$$p

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$$\Delta \geq {\frac{hc}{\Delta r}}$$

$${\frac{GM^2}{\Delta r}}$$ =

e podemos escrever:

GM² $$\geq$$ hc

Definimos a massa de Planck como:

$$\boxed{M_{\mathrm{Planck}}\equiv \sqrt{\frac{hc}{G}}}$$

Nosso valor difere do valor na literatura

M_Planck=$$\sqrt{\frac{\hbar c}{G}}$$

devido ao uso de h e não $\hbar$ na equação 1 O comprimento de Planck é dado por:

$L_{Planck}} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}= 1,66 \times 10^{-33}{cm}$

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