e
,
da Terra e de Marte respectivamente, e a elongação
de Marte, para 24 datas.
A Tabela de Posições dá as longitudes heliocêntricas e
,
da Terra e de Marte respectivamente, e a elongação
de Marte, para 24 datas.
, ,
e de . Quando
é 
, os planetas estão em oposição, e suas longitudes
são iguais. A tabela dá os dados para 12 oposições desde
1956 até 1980. Em 1609, a partir de observações similares, também
sobre um período de 24 anos, Kepler formulou suas três leis governando
o movimento orbital de Marte, através do método gráfico resumido
abaixo.
Primeira Lei. O problema consiste em traçar a órbita de
Marte a partir das várias posições na tabela. Em um cálculo
preliminar, Kepler encontrou que a Terra tinha uma órbita quase
circular com excentricidade e = 0,017, e longitude no periélio
de 
.
1. Desenhe esta órbita, usando um círculo de raio r. Coloque a
posição do Sol a uma distância 
do centro do círculo
na direção do periélio.
2. Agora plote as posições de Marte, como segue:
Desenhe a
direção (vamos chamar 
essa direção), que é comum para Terra e Marte na oposição 
1.
Note que neste ponto só sabemos a direção em que está Marte,
mas não sabemos em que posição ao longo desta direção ele está.
No entanto, após 1 período sideral, P, em julho de 1958, Marte retornou
à mesma longitude. Sua posição 
agora pode ser encontrada
plotando a posição da Terra no diagrama, e então desenhando
a linha (vamos chamar 
), na direção dada pelo ângulo .
O ponto em que essa linha corta a linha é a posição de Marte.
Da mesma forma, as posições 
,
,...,
de Marte na
sua órbita podem ser encontradas para as longitudes correspondentes
às 12 oposições listadas na tabela.
4. Determine o comprimento do semi-eixo maior em unidades astronômicas, a excentricidade orbital, e, e a longitude do periélio.
Terceira Lei.
5. O período sinódico, S, pode ser encontrado a partir do
intervalo médio entre oposições sucessivas. Calcule este valor
para cada par de oposições listadas na tabela.
Exemplo: 
= 36523-35726=797 dias. É preciso calcular o valor médio.
6. Calcule o período sideral de Marte, P, em dias e em anos.
O período sideral é o intervalo de tempo entre longitudes iguais sucessivas!
Exemplo: 
= 687 dias. Mais fácil ainda é utilizar o
período sinódico médio calculado na questão
anterior e a relação
entre o período sinódico e o período sideral.
Mostre que a razão 
é a mesma para a Terra e para Marte.
Segunda Lei. Kepler observou que o movimento longitudinal de
Marte era irregular. Entre duas oposições sucessivas, separadas
por um intervalo 
, a longitude cresce de
. A velocidade angular resultante,
, não era constante.
Exemplo: entre 1a. e 2a. oposição,
= 797 - 687 = 110 dias, 
, e portanto 
7. Plote a variação de como uma função
da longitude .
Use a longitude média no intervalo.
Que direções correspondem aos
valores de máximo e mínimo? Para estas duas direções
mostre que a área varrida pela linha unindo Marte e o Sol na unidade
de tempo é sempre a mesma, lembrando que a velocidade areal é
dada por:
Referência: Kleczek J. & Minnaert M.G.J. 1987, Exercises in Astronomy.
