Primeira lei de Kepler: Lei das órbitas

Voltamos novamente para nossa equação do movimento

                                          (1)

Multiplicando-se vetorialmente a equação (1) por $\vec{h}\,$:

x = ( x )                                           (4)

já levando-se em conta que: $\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b}\times \vec{a}$. A parte da direita de (4) pode ser escrita como:

( x ) = ( x ) x .

Como

( x ) x = ( ^. ) - ( ^. ),

então:

( x ) x =  r² - ( ^. ) = - ( ^. )  .

Como

= - ^.   ,

então:

x = .

O lado esquerdo da equação (4), $\ddot{\vec r}\times \vec h$, pode ser escrito como:

x = x ,

já que:

x = x + x ,

e como $\vec{h}\,$ é constante, $\dot{\vec h}$ = 0. A equação (4) pode portanto ser escrita como:

x = ,

ou seja, integrando-se sobre t:

x = +                             (4a)

onde é um vetor constante. Como $\vec{h}\,$ é perpendicular ao plano da órbita, $\dot{\vec r}$ x $\vec{h}\,$ está no plano da órbita, junto com $\vec{r}\,$, de modo que também. Na verdade, está na direção do pericentro, como veremos a seguir.

Até agora encontramos dois vetores constantes, $\vec{h}\,$ e , e um escalar constante, ε de modo que já temos 7 integrais. Entretanto, elas não são todas independentes. Por exemplo, como está no plano da órbita, e $\vec{h}\,$ em um plano perpendicular a este, ·$\vec{h}\,$=0.

Multiplicando-se (4a) escalarmente por $\vec{r}\,$, temos:

· x = · + · .

Como

x · = · x ,

x ^. h = r² +  rcos ,

onde γ é o ângulo entre $\vec{r}\,$ e , e $\vec{r}\,$ x $\dot{\vec r}$ = $\vec{h}\,$, temos:

h² =  r +  r cos ,

ou

h² = r  1 + cos ,

e finalmente:

que é a equação da trajetória, que queríamos determinar.

Esta é a equação de uma cônica (elipse, parábola ou hipérbole) com foco na origem, em coordenadas polares. As cônicas foram estudadas pelo matemático grego Apolônio de Perga (c. 262 a.C.- c. 190 a.C.) em 200 a.C.

onde

• p é chamado de semi-lactus rectum, é a corda, perpendicular ao eixo, passando pelo foco.
• e é a excentricidade.
• θ o ângulo entre o foco, na direção do pericentro (periélio), e o vetor posição $\vec{r}\,$ é chamado de anomalia verdadeira.
  
  Somente para β/μ<1 o movimento é finito, e a órbita é uma elipse.

  Note que $\vec{r}\,$ é mínimo quando γ=0, isto é, na direção de , provando que aponta na direção do pericentro.

  Lembrando que μ = G(m + M), e comparando com a equação da elipse (ver Apêndice),

  
  vemos que a equação da trajetória descreve uma cônica em geral, mas se periódica, como a órbita da Lua em torno da Terra ou dos planetas em torno do Sol, uma elipse com:
  p = a(1 - e²),
  e
  e = .
  p é o semi-lactus rectum, e é a excentricidade da elipse, e θ=γ é o ângulo entre o ponto da elipse mais próximo do foco (pericentro) e o vetor posição . Esta é a demonstração de que a órbita, se periódica, é elíptica, como diz a primeira lei de Kepler.

  Se a excentricidade e = β/μ 1, o movimento é infinito, isto é, não se repete. Se e = 1 o corpo se move em uma parábola, e se e > 1 em uma hipérbole, o que não é o caso dos planetas, mas às vezes dos cometas e asteróides.

  Vamos determinar a excentricidade e. Da equação que introduziu (4a) temos:

  = x -   ,
  = ( x ) ^. ( x ) + - 2( x ) ^.   .
  Como $\vec{\dot r}\,$ é perpendicular a $\vec{h}\,$, pela definição do momentum angular :
  |$\ \dot{\vec r}$ x $\ \vec{h}\,$| = |$\ \dot{\vec r}$| |$\ \vec{h}\,$| $\ \rightarrow$ ($\ \dot{\vec r}$ x $\ \vec{h}\,$) ^. ($\ \vec{\dot r}\,$ x $\ \vec{h}\,$) = v²h²,
  de modo que:
  $\ \beta^{2}_{}$ = v²h² + $\ \mu^{2}_{}$ - 2$\ {\mu \over r}$  [$\ \vec{\dot r}\,$ x $\ \vec{h}\,$ ^. $\ \vec{r}\,$ ].
  Mas
  [$\ \vec{\dot r}\,$ x $\ \vec{h}\,$ ^. $\ \vec{r}\,$ ] = - [ $\ \vec{h}\,$ x $\ \vec{\dot r}\,$ ^. $\ \vec{r}\,$ ] = [ $\ \vec{h}\,$ ^. $\ \vec{\dot r}\,$ x $\ \vec{r}\,$ ],
  e como $\vec{\dot r}\,$ x $\vec{r}\,$ = $\vec{h}\,$,
  $\ \beta^{2}_{}$ = v²h² + $\ \mu^{2}_{}$ - 2$\ {\mu \over r}$ h².
  Como e = ${\beta \over \mu}$, $\beta^{2}_{}$ = $\mu^{2}_{}$e², logo:
  $\ \mu^{2}_{}$e² - $\ \mu^{2}_{}$ = v²h² - 2$\ {\mu \over r}$ h² = 2h² $(\vphantom{ {v^2 \over 2} - {\mu \over r} }$ $\ {v^2 \over 2}$ - $\ {\mu \over r}$ $\ \vphantom{ {v^2 \over 2} - {\mu \over r} })$ = 2h²$\ \epsilon$,
  ou seja:
  $\ \mu^{2}_{}$(e² - 1) = 2h²$\ \epsilon$
  Desta forma fica provado que a excentricidade depende da energia do sistema.

  Resumindo, a lei das órbitas elípticas dos planetas é uma consequência do tipo de força que atua entre os planetas e o Sol. Newton mostrou que as únicas órbitas possíveis para um corpo interagindo gravitacionalmente com outro são as secções cônicas: círculo, elipse, parábola ou hipérbole, nomes dados por Apolônio de Perga.

  Um círculo pode ser pensado como uma elipse com e = 0 e a = b. Uma parábola pode ser pensada como uma elipse com e = 1 e a = ∞. Uma hipérbole pode ser pensada como uma elipse com e > 1 e a < 0.

  Se o corpo tiver movimento periódico, como os planetas, sua trajetória será circular ou elíptica; se o movimento for não periódico, como é o caso de alguns cometas e asteróides, a trajetória será parabólica ou hiperbólica. O fator decisivo sobre o tipo de órbita é a energia do sistema, detalhado adiante. A órbita circular é a de menor energia possível, mas requer que as condições iniciais do movimento sejam perfeitas, o que dificilmente acontece na natureza.

  O termo apside refere-se à menor ou maior distância do objeto ao foco.

  
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