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A Equação de Transporte Radiativo

Vamos derivar a relação entre o fluxo de radiação e o gradiente de temperatura. Descrevendo o campo de radiação por sua intensidade $ I(r,\theta)$, energia por unidade de área, por unidade de tempo, e por unidade de ângulo sólido (esferorradiano), a uma distância $ r$ do centro da estrela, e em uma direção inclinada de um ângulo $ \theta$ do raio vetor.

Figura 1.4: Intensidade e Ângulo Sólido
Angulo solido

Considere os ganhos e perdas que a radiação sofre, dentro de um ângulo sólido $ dw$, por unidade de tempo, em um cilindro com seção de choque $ ds$ e comprimento $ d\ell$, equivalente ao raio vetor $ r$, e $ r+dr$. A intensidade de radiação entrando pela base será:

+I(r,\theta)\,dw\,ds,$

enquanto a perda correspondente na superfície superior será:

-I(r+dr,\theta+d\theta)\,dw\,ds.$

\epsfig {file=dldr.eps,height=5cm,clip=}
Na última expressão, o incremento em $ r$ ocorre porque o topo do cilindro está mais longe do centro do que a base, e o incremento em $ \theta$ ocorre porque a curvatura introduzida pela simetria esférica leva o topo vertical do cilindro a estar inclinado em relação à base.

A perda de energia por unidade de tempo por absorção sobre o comprimento do cilindro será de:

-Idwds \times K\rho d\ell

Finalmente, precisamos incluir a emissão dos gases no cilindro. Seja $ j$ a energia total emitida, por unidade de massa, por unidade de tempo, isotropicamente em todas as direções. A emissão de toda a matéria no cilindro, na direção contida pelo ângulo sólido $ dw$ será então:

+ j\rhodsd\ell\frac{dw}{4\pi}

Se aplicarmos a condição de equilíbrio térmico especificamente para o campo de radiação, exigimos que os ganhos da radiação balancem exatamente as perdas, isto é, que a soma dos termos seja nula:

I(r,\theta)dwds-I(r+dr,\theta+d\theta)dwds-I(r,\theta)dwds K\rho d\ell +j\rho ds d\ell \frac{dw}{4\pi} = 0.$

Como, para um elemento infinitesimal:

I(r+dr,\theta+d\theta)-I(r,\theta)= \frac{\partial{I}}{\partial{r}}dr + \frac{\partial{I}}{\partial{\theta}}d\theta,$

assumindo $ \partial{I}/\partial{\phi}=0$, e simplificando $ dw\,ds$ em todos os termos, obtemos

{-\frac{\partial{I}}{\partial{r}}dr - \frac{\partial{I}}{\partial{\theta}}d\theta -IK\rho d\ell + \frac{j\rho}{4\pi}d\ell=0.}$

Usando as relações geométricas:

d\ell=\frac{dr}{\cos\theta},\quad d\theta=-\frac{d\ell\, \mathrm{sen}\,\theta}{r},$

obtemos

d\theta=-\frac{dr sen\theta}{r\cos\theta

\frac{\partial I}{\partial r}\cos\theta -\frac{\partial I}{\partial \theta} \frac{{sen}\theta}{r} + IK\rho - \frac{1}{4\pi}j\rho = 0.$ (1.36)

Esta é a equação básica de transporte radiativo, que precisa ser obedecida a cada ponto da estrela.


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Modificada em 4 set 2001