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Lei de Stefan-Boltzmann

O fluxo (energia por unidade de área, por segundo) de um corpo negro de temperatura T é dado por:

F = 2$$\pi$$$$\int_{0}^{\pi/2}$$cos$$\theta$$ sin$$\theta$$ d$$\theta$$$$\int_{0}^{\infty}$$B_$\nu$(T)d$$\nu$$ = $$\sigma$$T⁴,

onde $\sigma$ = 5, 67×10^-5ergs cm^-2 K^-4 s^-1 é a constante de Stefan-Boltzmann, já que:

B(T) $$\equiv$$ = $$\int_{0}^{\infty}$$B_$\nu$d$$\nu$$ = $${\frac{2h}{c^2}}$$$$\int_{0}^{\infty}$$$${\frac{\nu^3d\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}}$$,

e definindo-se alpha $\equiv$ ${\frac{h\nu}{kT}}$,

$${\frac{2h}{c^2}} \left(\vphantom{\frac{kT}{h}}\right. {\frac{kT}{h}} \left.\vphantom{\frac{kT}{h}}\right)^{4}_{} \int_{0}^{\infty} {\frac{\alpha^3d\alpha}{e^\alpha(1-e^{-\alpha})}}$$ B(T) = (1.1)

$${\frac{2h}{c^2}} \left(\vphantom{\frac{kT}{h}}\right. {\frac{kT}{h}} \left.\vphantom{\frac{kT}{h}}\right)^{4}_{} \left[\vphantom{6 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^4}}\right. \sum_{n=0}^{\infty} {\frac{1}{(n+1)^4}} \left.\vphantom{6 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^4}}\right]$$ = (1.2)

$${\frac{2h}{c^2}} \left(\vphantom{\frac{kT}{h}}\right. {\frac{kT}{h}} \left.\vphantom{\frac{kT}{h}}\right)^{4}_{} {\frac{\pi^4}{15}}$$ = (1.3)

A energia que atinge o detector por unidade de área e de tempo, por definição de fluxo, é de:

$$\boxed{F(r) = \frac{L}{4 \pi r^2}}$$

onde r é a distância da fonte ao detector.
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