Conservação da Energia Total do Sistema

Lembrando que para dois vetores e formando um ângulo α entre eles:

$$\vec{{a}}\,$$⋅ = |a| |b| cos α

O produto vetorial × resulta em um vetor perpendicular ao vetor e ao vetor , normal ao plano contendo os dois vetores, de módulo:

|× | = |a| |b| sen α

Iniciamos com a equação de movimento (1) que derivamos:

                                          (1)

Multiplicando-se a equação (1) escalarmente por $\dot{\vec r}$ temos:

$\dot{\vec r}$ ^. $\ddot{\vec r}$ + ${\mu \over r^3}$$\vec{r}\,$ ^. $\dot{\vec r}$ = 0.

Como $\vec{v}\,$ = $\dot{\vec r}$ e $\dot{\vec v}$ = $\ddot{\vec r}$ temos:

$\vec{v}\,$ ^. $\dot{\vec v}$ + ${\mu \over r^3}$$\vec{r}\,$ ^. $\dot{\vec r}$ = 0.

Seja α o ângulo entre o raio vetor e a velocidade:

$\vec{r}\,$ ^. $\dot{\vec r}$ = r v cos$\alpha$   e    $\vec{v}\,$ ^. $\dot{\vec v}$ = $\dot{\vec r}$ ^. $\ddot{\vec r}$ = v $\dot{v}$ cos(- $\alpha$)

e cos(-α)=cos(α), eliminando cos(α) dos dois termos.

Como dxⁿ=n dx^(n-1), o primeiro termo da equação pode ser escrito como

${d \over dt}$ $\left(\vphantom{{v^2 \over 2}}\right.$ ${v^2 \over 2}$ $\left.\vphantom{{v^2 \over 2}}\right)$ = v $\dot{v}$

e o segundo termo da equação:

${d \over dt}$ $\left(\vphantom{{\mu \over r}}\right.$ ${\mu \over r}$ $\left.\vphantom{{\mu \over r}}\right)$ = - ${\mu \dot r \over r^2}$ ${r \over r}$ = - ${\mu \dot r r \over r^3}$

de modo que podemos escrever nossa equação como:

${d \over dt}$ $(\vphantom{{1 \over 2}v^2-{\mu \over r}}$ ${1 \over 2}$v² - ${\mu \over r}$ $\vphantom{{1 \over 2}v^2 - {\mu \over r}})$ = 0

de onde se conclui imediatamente que o termo derivado é uma constante, já que sua derivada é nula:

${1 \over 2}$v² - ${\mu \over r}$ = ε = constante                                           (2)

${1 \over 2}$v² - ${G(m+M) \over r}$ =ε = constante

que é a equação de energia do sistema (ε = energia por unidade de massa)

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