Escudamento eletrônico

A principal modificação que precisamos fazer à discussão de reações nucleares apresentada até agora é a alteração ao potencial de Coulomb entre os reagentes, devido à presença dos elétrons no meio. Esse problema é chamado de electron screening.

Considere dois reagentes totalmente ionizados e de mesma carga Z. Podemos definir o raio de Wigner-Seitz [Eugene Paul Wigner (1902-1995) e Fredrick Seitz (1911-2008)], de modo que

$\frac{4}{3}\pi a^3 \equiv \frac{1}{n_i}$

(1)

onde

é a densidade de íons, por número. Se $Z^2e^2/a \ll kT$ , a teoria de Debye-Hückel [Peter Josef William Debye (1884-1966) e Erich Hückel (1896-1980)] nos diz que o potencial eletrostático de um íon, circundado por uma nuvem de elétrons, é dado por:

$\phi(r) = \frac{Ze}{r}e^{-\kappa_dr}$

(2)

onde $\kappa_d$ , o inverso do raio de Debye, é dado por:

$\kappa_d = [\frac{4\pi e^2}{kT}(Z^2n_i+n_e)]^{1/2}$

(3)

O efeito da exponencial é o de reduzir a barreira de potencial abaixo do seu valor coulombiano

, para um dado valor de

. Como estamos interessados em calcular como esse potencial modificado afeta a barreira de penetrabilidade, o valor de

de interesse é da ordem de $r_t \simeq Z^2e^2/E$ , onde

é a energia cinética para separação infinita. Se usarmos o valor de $E\simeq 10$ KeV do pico de Gamow, e Z unitário, obtemos o valor de $r_t \simeq 10^{-11}$ cm. Portanto, para valores pequenos de

, podemos aproximar $\phi(r)$ como

$\phi(r) \simeq \frac{Ze}{r}(1-\kappa_d r)$

(4)

de modo que a barreira potencial eletrostática $U=Ze\phi$ fica reduzida por uma quantia $U_0 \simeq Z^2e^2\kappa_d$ devido à presença da nuvem eletrônica circundante. Portanto, podemos, em princípio, substituir $\sigma(E)$ por $\sigma(E+U_0)$ , ou seja

$\langle\sigma v\rangle_{com~escudamento} = \langle\sigma v\rangle_{sem~escudamento} \times \exp(U_0/kT)$

(5)

Como $\exp(U_0/kT)>1$ , há aceleração na taxa de reação nuclear. Por exemplo, para X=0,7 e Y=0,3, isto é, desprezando os outros íons, obtemos para o ciclo pp no centro do Sol $\exp(U_0/kT)=1,053$ . Para a reação de prótons com $^{12}{C}$ em uma estrela de população I, com

e $\rho=100~\mathrm{g/cm^3}$ , encontramos $\exp(U_0/kT) \simeq 1,25$ . Portanto, o efeito do escudamento é significativo.

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Astronomia e Astrofísica