Escudamento eletrônico

A principal modificação que precisamos fazer à discussão de reações nucleares apresentada até agora é a alteração ao potencial de Coulomb entre os reagentes, devido à presença dos elétrons no meio. Esse problema é chamado de electron screening.

Considere dois reagentes totalmente ionizados e de mesma carga Z. Podemos definir o raio de Wigner-Seitz $a$ [Eugene Paul Wigner (1902-1995) e Fredrick Seitz (1911-2008)], de modo que

 \frac{4}{3}\pi a^3 \equiv \frac{1}{n_i} (1)
onde $n_i$ é a densidade de íons, por número. Se $Z^2e^2/a \ll kT$, a teoria de Debye-Hückel [Peter Josef William Debye (1884-1966) e Erich Hückel (1896-1980)] nos diz que o potencial eletrostático de um íon, circundado por uma nuvem de elétrons, é dado por:
 \phi(r) = \frac{Ze}{r}e^{-\kappa_dr} (2)
onde $\kappa_d$, o inverso do raio de Debye, é dado por:
 \kappa_d = [\frac{4\pi e^2}{kT}(Z^2n_i+n_e)]^{1/2} (3)
O efeito da exponencial é o de reduzir a barreira de potencial abaixo do seu valor coulombiano $Ze/r$, para um dado valor de $r$. Como estamos interessados em calcular como esse potencial modificado afeta a barreira de penetrabilidade, o valor de $r$ de interesse é da ordem de $r_t \simeq Z^2e^2/E$, onde $E$ é a energia cinética para separação infinita. Se usarmos o valor de $E\simeq 10$ KeV do pico de Gamow, e Z unitário, obtemos o valor de $r_t \simeq 10^{-11}$ cm. Portanto, para valores pequenos de $r$, podemos aproximar $\phi(r)$ como
\phi(r) \simeq \frac{Ze}{r}(1-\kappa_d r) (4)
de modo que a barreira potencial eletrostática $U=Ze\phi$ fica reduzida por uma quantia $U_0 \simeq Z^2e^2\kappa_d$ devido à presença da nuvem eletrônica circundante. Portanto, podemos, em princípio, substituir $\sigma(E)$ por $\sigma(E+U_0)$, ou seja
 \langle\sigma v\rangle_{com~escudamento} = \langle\sigma v\rangle_{sem~escudamento} \times \exp(U_0/kT) (5)
Como $ \exp(U_0/kT)>1$, há aceleração na taxa de reação nuclear. Por exemplo, para X=0,7 e Y=0,3, isto é, desprezando os outros íons, obtemos para o ciclo pp no centro do Sol $ \exp(U_0/kT)=1,053$. Para a reação de prótons com $^{12}{C}$ em uma estrela de população I, com $T_6=20$ e $\rho=100~\mathrm{g/cm^3}$, encontramos $\exp(U_0/kT) \simeq 1,25$. Portanto, o efeito do escudamento é significativo.


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Modificada em 22 abril 2008