Avermelhamento Gravitacional

Utilizando a relação entre o tempo próprio ($\tau$=tempo no sistema de repouso na coordenada $r$) e a coordenada temporal $t$,

$d\tau = \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^\frac{1}{2} dt$

podemos calcular a diferença entre a frequência emitida em $r_1$

$\nu_1 = \frac{1}{d\tau_1}$

e a frequência recebida em um ponto qualquer $r_2$

$\nu_2 = \frac{1}{d\tau_2}$

que é dada por

Podemos aproximar esta relação para um ponto $r_2\gg r_1$ como

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \left(1-\frac{2GM}{c^2r_1}\right)^\frac{1}{2}$

e, se o campo gravitacional for fraco

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \left(1-\frac{GM}{c^2r_1}\right)$

de modo que

e

É necessário identificar r₁ = R como o raio da estrela, isto é, a posição em que a radiação foi emitida. Este avermelhamento gravitacional causa um deslocamento Doppler no centro das linhas espectrais equivalente a

${\frac{{\delta \lambda}}{{\lambda}}}$ $\equiv$ -${\frac{{v_{gr}}}{{c}}}$ = -${\frac{{GM}}{{c^2R}}}$

Multiplicando-se e dividindo-se pela massa e pelo raio do Sol, obtemos:

v_gr = 0,635${\frac{{M}}{{M_\odot}}}$${\frac{{R_\odot}}{{R}}}$ km/s

Para Sírius B, com M = (1,053±0,028)M_$\odot$, obtém-se v_gr = (89±16) km/s.

O desvio da luz α por um corpo gravitacional de potencial φ pode ser calculado sabendo-se a distância de maior aproximação r como

α=4GM/r

onde M é a massa total do sistema.

Astronomia e Astrofísica

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