Como se calcula o comprimento da sombra?

Consideremos um corpo luminoso de raio R a uma distância d de uma esfera opaca de raio R'.

Por semelhança de triângulos temos que:

$\frac{R^\prime}{L}= \frac{R}{L+d}$

E portanto a altura do cone de sombra (L) é:

$L = \frac{R'd}{R-R'}$

Onde:

L = comprimento da sombra
d = distância da fonte à esfera opaca
R' = raio da esfera opaca
R = raio da fonte

Como se calcula o raio da sombra da Terra à distância da Lua?

L = comprimento da sombra
R' = raio da Terra
r(l) = raio da sombra a uma distância l da Terra

Novamente por semelhança de triângulos temos que:

$\frac{r(l)}{L-l} = \frac{R'}{L}$

E o raio da sombra à distância l da esfera opaca é:

$r(l) = R'{\frac{L-l}{L}}$

Exemplos de cálculos de eclipses

Calcular o comprimento médio da sombra da Terra, considerando-se:
- distância Terra-Sol: 149 600 000 km
- raio da Terra: 6370 km
- raio do Sol: 696 000 km
Como

comprimento da sombra = distância da fonte × raio da esfera
raio da fonte - raio da esfera

Obtemos:

comprimento da sombra = 149 600 000 km × 6370 km
696 000 km - 6370 km

ou

comprimento da sombra = 1 381 800 km
Seja r o raio da Terra, R = 109r o raio do Sol, d = 23680r a distância entre o Sol e a Terra.
- a) Qual é o comprimento do cone de sombra formado?
  
  L = d × r
  R-r
  = 23680 r²
  109r-r
  = 219,26r
- b) Qual é o raio deste cone a uma distância de l = 60r por onde passa a Lua?
  Como
  
  r(l)
  L-l
  = r
  L
  
  r(l) = r
  L
  (L-l) = r
  219,26r
  (219,26r-60r) = 0,726 r
- c) Sendo r_L = r/3,6 o raio da Lua, quantos diâmetros lunares cabem nessa região da sombra?
  
  r(l)/r_L = 0,726 r
  r / 3,6
  = 2,6
Isto é, na distância da Lua, a umbra da Terra tem 9200 km. A penumbra tem 16 000 km e como a velocidade da Lua na sua órbita é de 3400 km/hr, um eclipse total da Lua dura cerca de 1h 40m e um eclipse parcial da Lua dura cerca de 6 h.

A duração e forma dos eclipses dependem da distância instantânea do Sol e da Lua, que variam devido às órbitas elípticas, e também dos ângulos no momento do eclipse, que variam devido à inclinação da órbita da Terra em torno do Sol (obliqüidade da eclíptica=23,5°), e da inclinação da órbita da Lua (5,2°).

Órbita dos Planetas
Astronomia e Astrofísica